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Problemas de la Fase Regional de la Olimpiada Matemática 2016

PROBLEMA 1

EL PIN DE UN MÓVIL

A una persona le han prestado un teléfono móvil pero ha olvidado el PIN (número de cuatro cifras), a pesar de que le dijeron que era un capicúa divisible por 49. El teléfono se bloquea si hace más de dos intentos fallidos.

a) Justifica que cualquier capicúa de cuatro cifras es divisible por 11.

b) Estudia de forma razonada si puede o no utilizar el móvil.

 

PROBLEMA 2

DOS DE CIFRAS EN UNO

Vamos con el primero:

Hay números de tres cifras que tienen la siguiente propiedad: si se le quita la primera cifra o la última, en ambos casos, queda un número de dos cifras que es un cuadrado perfecto, por ejemplo el 364, si se quita el 3, queda 64 y si se quita el 4 queda 36, ambos son cuadrados perfectos.

Se pide:

Justifica de forma razonada si existe algún número de tres cifras que sea de la forma A25 o 25B y que cumpla la propiedad anterior.

Calcula todos los números de tres cifras que cumplen dicha propiedad.

Y ahora con el segundo:

Halla la suma de las cifras del resultado de cada una de las siguientes operaciones:

PROBLEMA 3

CARRERAS DE VELOCIDAD

En una carrera de 100 m lisos, Carlos debe dar 4 m de ventaja a Julio para que lleguen juntos a la meta. Es decir que Julio sólo recorre 96 m. En una carrera de 400 m lisos, Julio debe dar 20 m de ventaja a Edu para que lleguen juntos a la meta. Es decir que Edu sólo recorre 380 m.

a) ¿Cuál de los tres atletas es el más rápido?

b) Si la carrera fuera de 1000 m calcula cuánta ventaja debería dar Carlos a Edu para que llegaran juntos a la meta.

Nota: Se considera que cada atleta corre a velocidad constante.

 

PROBLEMA 4

HEXÁGONO CORTADO

Cortamos un hexágono regular de 2 cm de lado en dos trozos mediante un segmento paralelo a uno de sus lados como se observa en la siguiente figura. El cociente entre las áreas de estos dos trozos es 1/5

a) Calcula: la apotema y el área del hexágono.

b) Calcula el área de cada uno de los dos trozos en que se ha dividido el hexágono.

c) Calcula la longitud del segmento x.

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