A continuación puedes ver el enunciado del problema 5 para el concurso «Retos Olimpiadas», en la categoría Juvenil, 4º ESO.
¡¡ Anímate a participar !! Para ello sigue las instrucciones que encontrarás tras el enunciado.
Enunciado problema 5:
Cuerdas de Longitud Entera
El punto P dista 9 unidades del centro de una circunferencia de radio 15. ¿Cuántas cuerdas de longitud entera pasan por P?. Calcula en cada caso sus longitudes
Realiza la resolución del problema escrito a mano en el documento impreso del punto anterior.
Escanea en orden ascendente a la numeración de páginas los folios que hayas usado en la resolución del problema. Se guardarán en un único archivo en formato pdf (máx.10MB), nombrado problema-numero-categoría-nombre completo del participante (Ejemplo: problema2AlevinJavierSierraRosa).
Rellena el formulario para enviar el problema. ( Se solicitan datos del alumnado pero también del representante del menor, que puede ser docente, padre, madre o tutor/a legal).
Tienes de plazo, si quieres concursar, del 3/12/2025 al 10/12/2025. En el caso que, pasado ese período quieras enviar una resolución, puedes hacerlo, pero ya no entraría en el concurso.
RECUERDA que cuando resuelves un problema tienes que tener en cuenta los datos, anótalos si es relevante la información, realiza las operaciones en orden y explicando las que consideres importantes, y, cómo no, escribe la solución al problema planteado, contestando a la pregunta, generalmente.
A continuación puedes ver el enunciado del problema 5 para el concurso «Retos Olimpiadas», en la categoría Junior, 2º ESO.
¡¡ Anímate a participar !! Para ello sigue las instrucciones que encontrarás tras el enunciado.
Enunciado problema 5:
Dos ecuaciones de 2º grado
Probar que si p es una solución de la ecuación 19x2+ax+97=0, 1/p es solución de 97x2+ax+19 =0 ¿Para qué valores del parámetro “a” las dos ecuaciones anteriores tienen una raíz común?
Realiza la resolución del problema escrito a mano en el documento impreso del punto anterior.
Escanea en orden ascendente a la numeración de páginas los folios que hayas usado en la resolución del problema. Se guardarán en un único archivo en formato pdf (máx.10MB), nombrado problema-numero-categoría-nombre completo del participante (Ejemplo: problema2AlevinJavierSierraRosa).
Rellena el formulario para enviar el problema. ( Se solicitan datos del alumnado pero también del representante del menor, que puede ser docente, padre, madre o tutor/a legal).
Tienes de plazo, si quieres concursar, del 3/12/2025 al 10/12/2025. En el caso que, pasado ese período quieras enviar una resolución, puedes hacerlo, pero ya no entraría en el concurso.
RECUERDA que cuando resuelves un problema tienes que tener en cuenta los datos, anótalos si es relevante la información, realiza las operaciones en orden y explicando las que consideres importantes, y, cómo no, escribe la solución al problema planteado, contestando a la pregunta, generalmente.
A continuación puedes ver el enunciado del problema 5 para el concurso «Retos Olimpiadas», en la categoría Alevín, 6º EP.
¡¡ Anímate a participar !! Para ello sigue las instrucciones que encontrarás tras el enunciado.
Enunciado problema 5:
Múltiplos de Cuatro
Ana, Blas, Carlos y Diana escriben múltiplos de 4 en el siguiente orden:
Ana escribe 4×1 = 4; Blas 4×2 = 8; Carlos 4×3 = 12 y Diana 4×4 = 16. En un segundo turno Ana escribe 4×5; Blas 4×6; Carlos 4×7 y Diana 4×8. Así sucesivamente continúan escribiendo múltiplos de cuatro por turnos.
a) ¿Qué número escribe cada uno en el décimo turno? ¿y en el turno cuadragésimo tercero?
b) ¿Quién escribiría el mayor múltiplo de 4 de seis cifras y en qué turno se escribiría?
c) En determinado momento puede aparecer escrito el número 8216 por ser múltiplo de cuatro. ¿Quién de los cuatro lo escribiría? ¿En qué turno se escribiría?
Realiza la resolución del problema escrito a mano en el documento impreso del punto anterior.
Escanea en orden ascendente a la numeración de páginas los folios que hayas usado en la resolución del problema. Se guardarán en un único archivo en formato pdf (máx.10MB), nombrado problema-numero-categoría-nombre completo del participante (Ejemplo: problema2AlevinJavierSierraRosa).
Rellena el formulario para enviar el problema. ( Se solicitan datos del alumnado pero también del representante del menor, que puede ser docente, padre, madre o tutor/a legal).
Tienes de plazo, si quieres concursar, del 3/12/2025 al 10/12/2025. En el caso que, pasado ese período quieras enviar una resolución, puedes hacerlo, pero ya no entraría en el concurso.
RECUERDA que cuando resuelves un problema tienes que tener en cuenta los datos, anótalos si es relevante la información, realiza las operaciones en orden y explicando las que consideres importantes, y, cómo no, escribe la solución al problema planteado, contestando a la pregunta, generalmente.
Realiza la resolución del problema escrito a mano en el documento impreso del punto anterior.
Escanea en orden ascendente a la numeración de páginas los folios que hayas usado en la resolución del problema. Se guardarán en un único archivo en formato pdf (máx.10MB), nombrado problema-numero-categoría-nombre completo del participante (Ejemplo: problema2AlevinJavierSierraRosa).
Rellena el formulario para enviar el problema. ( Se solicitan datos del alumnado pero también del representante del menor, que puede ser docente, padre, madre o tutor/a legal).
Tienes de plazo, si quieres concursar, del 19/11/2025 al 26/11/2025. En el caso que, pasado ese período quieras enviar una resolución, puedes hacerlo, pero ya no entraría en el concurso.
RECUERDA que cuando resuelves un problema tienes que tener en cuenta los datos, anótalos si es relevante la información, realiza las operaciones en orden y explicando las que consideres importantes, y, cómo no, escribe la solución al problema planteado, contestando a la pregunta, generalmente.
Hemos recibido catorce resoluciones del problema 4 para la categoría junior, ¡animaros a seguir participando!
A continuación os facilitamos la solución oficial del problema 4:
Torneo de futbol triangular
Tres equipos de futbol juegan un torneo triangular, cada equipo jugó contra los otros dos (solo una vez), los goles a favor y en contra de cada equipo, son:
GF
GC
A
6
3
B
3
6
C
4
4
Uno de los tres equipos perdió los dos partidos que jugó. ¿Qué equipo perdió sus dos partidos? ¿Cuáles fueron los resultados de cada partido?
Solución oficial:
El equipo que perdió sus dos partidos es el que tiene menos goles a favor que en contra es decir el B.
Si el resultado de A contra B es (x,y); el de A contra C es (z,t) y el de B contra C (u,v), se tiene: x + z = 6 ; y + t = 3; y + u = 3; x + v = 6; t + v = 4; z + u = 4
Si y + t = 3 e y + u = 3 se deduce que t = u
Si x + z = 6 y x + v = 6 se deduce que z = v
Sustituyendo u por t y v por z, resultan las ecuaciones:
x + z = 6; y + t = 3; t + z = 4 de donde: y = 3 – t; z = 4 – t
Los posibles valores de t son 0, 1, 2 ó 3
Si t = 0; y = 3; z = 4 ; x = 2 los resultados son:
A contra B: 2 – 3; A contra C: 4 – 0 y B contra C: 0 – 4 No es posible pues B no gana nunca.
Si t = 1; y = 2; z = 3 ; x = 3 los resultados son:
A contra B: 3 – 2; A contra C: 3 – 1 y B contra C: 1 – 3 Es posible
Si t = 2; y = 1; z = 2 ; x = 4 los resultados son:
A contra B: 4 – 1; A contra C: 2 – 2 y B contra C: 2– 2. No es posible pues B no gana nunca.
Si t = 3; y = 0; z = 1 ; x = 5 los resultados son:
A contra B: 5 – 0; A contra C: 1 – 3 y B contra C: 3 – 1. No es posible pues B no gana nunca.
La resolución elegida como ganadora del problema 4 ha sido la realizada por Ana María P. A. del IES Universidad Laboral (Cáceres) ¡¡ Enhorabuena !!
Enunciado:
19-noviembre-2025
A continuación puedes ver el enunciado del problema 4 para el concurso «Retos Olimpiadas», en la categoría Junior, 2º ESO.
¡¡ Anímate a participar !! Para ello sigue las instrucciones que encontrarás tras el enunciado.
Enunciado problema 4:
Torneo de futbol triangular
Tres equipos de futbol juegan un torneo triangular, cada equipo jugó contra los otros dos (solo una vez), los goles a favor y en contra de cada equipo, son:
GF
GC
A
6
3
B
3
6
C
4
4
Uno de los tres equipos perdió los dos partidos que jugó. ¿Qué equipo perdió sus dos partidos? ¿Cuáles fueron los resultados de cada partido?
Realiza la resolución del problema escrito a mano en el documento impreso del punto anterior.
Escanea en orden ascendente a la numeración de páginas los folios que hayas usado en la resolución del problema. Se guardarán en un único archivo en formato pdf (máx.10MB), nombrado problema-numero-categoría-nombre completo del participante (Ejemplo: problema2AlevinJavierSierraRosa).
Rellena el formulario para enviar el problema. ( Se solicitan datos del alumnado pero también del representante del menor, que puede ser docente, padre, madre o tutor/a legal).
Tienes de plazo, si quieres concursar, del 19/11/2025 al 26/11/2025. En el caso que, pasado ese período quieras enviar una resolución, puedes hacerlo, pero ya no entraría en el concurso.
RECUERDA que cuando resuelves un problema tienes que tener en cuenta los datos, anótalos si es relevante la información, realiza las operaciones en orden y explicando las que consideres importantes, y, cómo no, escribe la solución al problema planteado, contestando a la pregunta, generalmente.
