A continuación puedes ver el enunciado del problema 5 para el concurso «Retos Olimpiadas», en la categoría Juvenil, 4º ESO.
¡¡ Anímate a participar !! Para ello sigue las instrucciones que encontrarás tras el enunciado.
Enunciado problema 5:
Cuerdas de Longitud Entera
El punto P dista 9 unidades del centro de una circunferencia de radio 15. ¿Cuántas cuerdas de longitud entera pasan por P?. Calcula en cada caso sus longitudes
Realiza la resolución del problema escrito a mano en el documento impreso del punto anterior.
Escanea en orden ascendente a la numeración de páginas los folios que hayas usado en la resolución del problema. Se guardarán en un único archivo en formato pdf (máx.10MB), nombrado problema-numero-categoría-nombre completo del participante (Ejemplo: problema2AlevinJavierSierraRosa).
Rellena el formulario para enviar el problema. ( Se solicitan datos del alumnado pero también del representante del menor, que puede ser docente, padre, madre o tutor/a legal).
Tienes de plazo, si quieres concursar, del 3/12/2025 al 10/12/2025. En el caso que, pasado ese período quieras enviar una resolución, puedes hacerlo, pero ya no entraría en el concurso.
RECUERDA que cuando resuelves un problema tienes que tener en cuenta los datos, anótalos si es relevante la información, realiza las operaciones en orden y explicando las que consideres importantes, y, cómo no, escribe la solución al problema planteado, contestando a la pregunta, generalmente.
A continuación puedes ver el enunciado del problema 5 para el concurso «Retos Olimpiadas», en la categoría Junior, 2º ESO.
¡¡ Anímate a participar !! Para ello sigue las instrucciones que encontrarás tras el enunciado.
Enunciado problema 5:
Dos ecuaciones de 2º grado
Probar que si p es una solución de la ecuación 19x2+ax+97=0, 1/p es solución de 97x2+ax+19 =0 ¿Para qué valores del parámetro “a” las dos ecuaciones anteriores tienen una raíz común?
Realiza la resolución del problema escrito a mano en el documento impreso del punto anterior.
Escanea en orden ascendente a la numeración de páginas los folios que hayas usado en la resolución del problema. Se guardarán en un único archivo en formato pdf (máx.10MB), nombrado problema-numero-categoría-nombre completo del participante (Ejemplo: problema2AlevinJavierSierraRosa).
Rellena el formulario para enviar el problema. ( Se solicitan datos del alumnado pero también del representante del menor, que puede ser docente, padre, madre o tutor/a legal).
Tienes de plazo, si quieres concursar, del 3/12/2025 al 10/12/2025. En el caso que, pasado ese período quieras enviar una resolución, puedes hacerlo, pero ya no entraría en el concurso.
RECUERDA que cuando resuelves un problema tienes que tener en cuenta los datos, anótalos si es relevante la información, realiza las operaciones en orden y explicando las que consideres importantes, y, cómo no, escribe la solución al problema planteado, contestando a la pregunta, generalmente.
Ninguna cifra puede tomar un valor superior a 5 pues buscamos un número de 4 cifras
55 + 44 + 33 + 33 = 3125 + 256 + 27 + 27 = 3435. Al ser la suma conmutativa:
33 + 44 + 33 + 55 = 3435. El número buscado es 3435
La resolución elegida como ganadora del problema 4 ha sido la realizada por Javier Tajafuerte Carmona del IES Universidad Laboral (Cáceres) ¡¡ Enhorabuena !!
Enunciado:
19-noviembre-2025
A continuación puedes ver el enunciado del problema 4 para el concurso «Retos Olimpiadas», en la categoría Juvenil, 4º ESO.
¡¡ Anímate a participar !! Para ello sigue las instrucciones que encontrarás tras el enunciado.
Enunciado problema 4:
Números de cuatro cifras especiales
Encuentra números de cuatro cifras abcd que verifican la igualdad:
Realiza la resolución del problema escrito a mano en el documento impreso del punto anterior.
Escanea en orden ascendente a la numeración de páginas los folios que hayas usado en la resolución del problema. Se guardarán en un único archivo en formato pdf (máx.10MB), nombrado problema-numero-categoría-nombre completo del participante (Ejemplo: problema2AlevinJavierSierraRosa).
Rellena el formulario para enviar el problema. ( Se solicitan datos del alumnado pero también del representante del menor, que puede ser docente, padre, madre o tutor/a legal).
Tienes de plazo, si quieres concursar, del 19/11/2025 al 26/11/2025. En el caso que, pasado ese período quieras enviar una resolución, puedes hacerlo, pero ya no entraría en el concurso.
RECUERDA que cuando resuelves un problema tienes que tener en cuenta los datos, anótalos si es relevante la información, realiza las operaciones en orden y explicando las que consideres importantes, y, cómo no, escribe la solución al problema planteado, contestando a la pregunta, generalmente.
Hemos recibido catorce resoluciones del problema 4 para la categoría junior, ¡animaros a seguir participando!
A continuación os facilitamos la solución oficial del problema 4:
Torneo de futbol triangular
Tres equipos de futbol juegan un torneo triangular, cada equipo jugó contra los otros dos (solo una vez), los goles a favor y en contra de cada equipo, son:
GF
GC
A
6
3
B
3
6
C
4
4
Uno de los tres equipos perdió los dos partidos que jugó. ¿Qué equipo perdió sus dos partidos? ¿Cuáles fueron los resultados de cada partido?
Solución oficial:
El equipo que perdió sus dos partidos es el que tiene menos goles a favor que en contra es decir el B.
Si el resultado de A contra B es (x,y); el de A contra C es (z,t) y el de B contra C (u,v), se tiene: x + z = 6 ; y + t = 3; y + u = 3; x + v = 6; t + v = 4; z + u = 4
Si y + t = 3 e y + u = 3 se deduce que t = u
Si x + z = 6 y x + v = 6 se deduce que z = v
Sustituyendo u por t y v por z, resultan las ecuaciones:
x + z = 6; y + t = 3; t + z = 4 de donde: y = 3 – t; z = 4 – t
Los posibles valores de t son 0, 1, 2 ó 3
Si t = 0; y = 3; z = 4 ; x = 2 los resultados son:
A contra B: 2 – 3; A contra C: 4 – 0 y B contra C: 0 – 4 No es posible pues B no gana nunca.
Si t = 1; y = 2; z = 3 ; x = 3 los resultados son:
A contra B: 3 – 2; A contra C: 3 – 1 y B contra C: 1 – 3 Es posible
Si t = 2; y = 1; z = 2 ; x = 4 los resultados son:
A contra B: 4 – 1; A contra C: 2 – 2 y B contra C: 2– 2. No es posible pues B no gana nunca.
Si t = 3; y = 0; z = 1 ; x = 5 los resultados son:
A contra B: 5 – 0; A contra C: 1 – 3 y B contra C: 3 – 1. No es posible pues B no gana nunca.
La resolución elegida como ganadora del problema 4 ha sido la realizada por Ana María Palomino Anes del IES Universidad Laboral (Cáceres) ¡¡ Enhorabuena !!
Enunciado:
19-noviembre-2025
A continuación puedes ver el enunciado del problema 4 para el concurso «Retos Olimpiadas», en la categoría Junior, 2º ESO.
¡¡ Anímate a participar !! Para ello sigue las instrucciones que encontrarás tras el enunciado.
Enunciado problema 4:
Torneo de futbol triangular
Tres equipos de futbol juegan un torneo triangular, cada equipo jugó contra los otros dos (solo una vez), los goles a favor y en contra de cada equipo, son:
GF
GC
A
6
3
B
3
6
C
4
4
Uno de los tres equipos perdió los dos partidos que jugó. ¿Qué equipo perdió sus dos partidos? ¿Cuáles fueron los resultados de cada partido?
Realiza la resolución del problema escrito a mano en el documento impreso del punto anterior.
Escanea en orden ascendente a la numeración de páginas los folios que hayas usado en la resolución del problema. Se guardarán en un único archivo en formato pdf (máx.10MB), nombrado problema-numero-categoría-nombre completo del participante (Ejemplo: problema2AlevinJavierSierraRosa).
Rellena el formulario para enviar el problema. ( Se solicitan datos del alumnado pero también del representante del menor, que puede ser docente, padre, madre o tutor/a legal).
Tienes de plazo, si quieres concursar, del 19/11/2025 al 26/11/2025. En el caso que, pasado ese período quieras enviar una resolución, puedes hacerlo, pero ya no entraría en el concurso.
RECUERDA que cuando resuelves un problema tienes que tener en cuenta los datos, anótalos si es relevante la información, realiza las operaciones en orden y explicando las que consideres importantes, y, cómo no, escribe la solución al problema planteado, contestando a la pregunta, generalmente.
Hemos recibido siete resoluciones del problema 3 para la categoría juvenil, ¡animaros a seguir participando!
A continuación os facilitamos la solución oficial del problema 3:
Dividiendo Polinomios
El resto de dividir un polinomio p(x) entre x – 1 es 2, entre x + 1 es 4 y entre x – 2 es 7.
Calcula el resto de dividir p(x) entre (x2 – 1)(x – 2).
Solución oficial:
Al ser el divisor de grado tres, el grado del resto será como máximo 2, es decir el resto es de la forma: ax2 + bx + c
El teorema del resto nos indica que el resto de dividir p(x) entre x – a es p(a), es decir:
P(x) = q(x) (x – a) + ax2 + bx + c siendo q(x) el cociente.
El resto de dividir p(x) entre x – 1 es p(1) = a + b + c = 2
El resto de dividir p(x) entre x + 1 es p(-1) = a – b + c = 4
El resto de dividir p(x) entre x – 2 es p(2) = 4a + 2b + c = 7
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene: a = 2; b = -1; c = 1
El resto es: 2x2 – x +1
La resolución elegida como ganadora del problema 3 ha sido la realizada por Lola Gutierro Nieto del IESO Sierra La Mesta (Santa Amalia) ¡¡ Enhorabuena !!
Enunciado:
5-noviembre-2025
A continuación puedes ver el enunciado del problema 3 para el concurso «Retos Olimpiadas», en la categoría Juvenil, 4º ESO.
¡¡ Anímate a participar !! Para ello sigue las instrucciones que encontrarás tras el enunciado.
Enunciado problema 3:
Dividiendo Polinomios
El resto de dividir un polinomio p(x) entre x – 1 es 2, entre x + 1 es 4 y entre x – 2 es 7.
Calcula el resto de dividir p(x) entre (x2 – 1)(x – 2).
Realiza la resolución del problema escrito a mano en el documento impreso del punto anterior.
Escanea en orden ascendente a la numeración de páginas los folios que hayas usado en la resolución del problema. Se guardarán en un único archivo en formato pdf (máx.10MB), nombrado problema-numero-categoría-nombre completo del participante (Ejemplo: problema2AlevinJavierSierraRosa).
Rellena el formulario para enviar el problema. ( Se solicitan datos del alumnado pero también del representante del menor, que puede ser docente, padre, madre o tutor/a legal).
Tienes de plazo, si quieres concursar, del 5/11/2025 al 12/11/2025. En el caso que, pasado ese período quieras enviar una resolución, puedes hacerlo, pero ya no entraría en el concurso.
RECUERDA que cuando resuelves un problema tienes que tener en cuenta los datos, anótalos si es relevante la información, realiza las operaciones en orden y explicando las que consideres importantes, y, cómo no, escribe la solución al problema planteado, contestando a la pregunta, generalmente.
