Autor: Administrator

Soluciones:

Hemos recibido siete resoluciones del problema 3 para la categoría juvenil, ¡animaros a seguir participando!

A continuación os facilitamos la solución oficial del problema 3:

Dividiendo Polinomios

El resto de dividir un polinomio p(x) entre x – 1 es 2, entre x + 1 es 4 y entre x – 2 es 7.

Calcula el resto de dividir p(x) entre (x² – 1)(x – 2).

Solución oficial:

Al ser el divisor de grado tres, el grado del resto será como máximo 2, es decir el resto es de la forma: ax² + bx + c

El teorema del resto nos indica que el resto de dividir p(x) entre x – a es p(a), es decir:

P(x) = q(x) (x – a) + ax² + bx + c   siendo q(x) el cociente. 

• El resto de dividir p(x) entre x – 1 es p(1) = a + b + c = 2

• El resto de dividir p(x) entre x + 1 es p(-1) = a – b + c = 4

• El resto de dividir p(x) entre x – 2 es p(2) = 4a + 2b + c = 7

Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene: a = 2; b = -1; c = 1

El resto es: 2x² – x +1

La resolución elegida como ganadora del problema 3 ha sido la realizada por Lola Gutierro Nieto del IESO Sierra La Mesta (Santa Amalia) ¡¡ Enhorabuena !!

Enunciado:

5-noviembre-2025

A continuación puedes ver el enunciado del problema 3 para el concurso «Retos Olimpiadas», en la categoría Juvenil, 4º ESO.

¡¡ Anímate a participar !! Para ello sigue las instrucciones que encontrarás tras el enunciado.

Enunciado problema 3:  

Dividiendo Polinomios

El resto de dividir un polinomio p(x) entre x – 1 es 2, entre x + 1 es 4 y entre x – 2 es 7.

Calcula el resto de dividir p(x) entre (x² – 1)(x – 2).

Instrucciones para participar en el concurso:

• Descarga e imprime el documento en pdf: PROBLEMA3_JUVENIL_5_11_2025
• Realiza la resolución del problema escrito a mano en el documento impreso del punto anterior.
• Escanea en orden ascendente a la numeración de páginas los folios que hayas usado en la resolución del problema. Se guardarán en un único archivo en formato pdf (máx.10MB), nombrado problema-numero-categoría-nombre completo del participante (Ejemplo: problema2AlevinJavierSierraRosa).
• Rellena el formulario para enviar el problema. ( Se solicitan datos del alumnado pero también del representante del menor, que puede ser docente, padre, madre o tutor/a legal).
• Tienes de plazo, si quieres concursar, del 5/11/2025 al 12/11/2025. En el caso que, pasado ese período quieras enviar una resolución, puedes hacerlo, pero ya no entraría en el concurso.

RECUERDA que cuando resuelves un problema tienes que tener en cuenta los datos, anótalos si es relevante la información, realiza las operaciones en orden y explicando las que consideres importantes, y, cómo no, escribe la solución al problema planteado, contestando a la pregunta, generalmente.

Para una información más detallada, echa un vistazo a las bases: Bases del concurso «Retos Olimpiadas»

Si te surgen dudas, contacta con nosotros, te atenderemos gustosamente en Contacta con nosotros.

Soluciones:

Hemos recibido diecinueve resoluciones del problema 3 para la categoría junior, ¡animaros a seguir participando!

A continuación os facilitamos la solución oficial del problema 3:

Números Bonitos 

Un número N de siete cifras es bonito si se puede expresar como suma de dos números de siete cifras s y t, tales que todas las cifras de s son impares y todas las cifras de t son pares. Determinar cuáles de los siguientes números son bonitos: 

6204773, 6372538, 7343053, 8993267, 9652393

Solución oficial:

La resolución elegida como ganadora del problema 3 ha sido la realizada por Mario Domínguez Nieto del IES “Ciudad Jardín” (Badajoz) ¡¡ Enhorabuena !!

Merece ser destacada la solución aportada por el alumno Hugo Vázquez Vidigal del Colegio “Sagrado Corazón” de Olivenza

Enunciado:

5-noviembre-2025

A continuación puedes ver el enunciado del problema 3 para el concurso «Retos Olimpiadas», en la categoría Junior, 2º ESO.

¡¡ Anímate a participar !! Para ello sigue las instrucciones que encontrarás tras el enunciado.

Enunciado problema 3:  

Números Bonitos 

Un número N de siete cifras es bonito si se puede expresar como suma de dos números de siete cifras s y t, tales que todas las cifras de s son impares y todas las cifras de t son pares. Determinar cuáles de los siguientes números son bonitos: 

6204773, 6372538, 7343053, 8993267, 9652393

Instrucciones para participar en el concurso:

• Descarga e imprime el documento en pdf: PROBLEMA3_JUNIOR_5_11_2025
• Realiza la resolución del problema escrito a mano en el documento impreso del punto anterior.
• Escanea en orden ascendente a la numeración de páginas los folios que hayas usado en la resolución del problema. Se guardarán en un único archivo en formato pdf (máx.10MB), nombrado problema-numero-categoría-nombre completo del participante (Ejemplo: problema2AlevinJavierSierraRosa).
• Rellena el formulario para enviar el problema. ( Se solicitan datos del alumnado pero también del representante del menor, que puede ser docente, padre, madre o tutor/a legal).
• Tienes de plazo, si quieres concursar, del 5/11/2025 al 12/11/2025. En el caso que, pasado ese período quieras enviar una resolución, puedes hacerlo, pero ya no entraría en el concurso.

RECUERDA que cuando resuelves un problema tienes que tener en cuenta los datos, anótalos si es relevante la información, realiza las operaciones en orden y explicando las que consideres importantes, y, cómo no, escribe la solución al problema planteado, contestando a la pregunta, generalmente.

Para una información más detallada, echa un vistazo a las bases: Bases del concurso «Retos Olimpiadas»

Si te surgen dudas, contacta con nosotros, te atenderemos gustosamente en Contacta con nosotros.

Soluciones:

Hemos recibido veintitrés resoluciones del problema 2 para la categoría juvenil, ¡animaros a seguir participando!

A continuación os facilitamos la solución oficial del problema 2:

Ecuaciones menos usuales

La resolución elegida como ganadora del problema 2 ha sido la realizada por David Bejarano Manzano del I.E.S. Sierra de San Pedro (La Roca de la Sierra) ¡¡ Enhorabuena !!

Enunciado:

22-octubre-2025

A continuación puedes ver el enunciado del problema 2 para el concurso «Retos Olimpiadas», en la categoría Juvenil, 4º ESO.

¡¡ Anímate a participar !! Para ello sigue las instrucciones que encontrarás tras el enunciado.

Enunciado problema 2:  

Ecuaciones menos usuales

Instrucciones para participar en el concurso:

• Descarga e imprime el documento en pdf: PROBLEMA2_JUVENIL_22_10_2025
• Realiza la resolución del problema escrito a mano en el documento impreso del punto anterior.
• Escanea en orden ascendente a la numeración de páginas los folios que hayas usado en la resolución del problema. Se guardarán en un único archivo en formato pdf (máx.10MB), nombrado problema-numero-categoría-nombre completo del participante (Ejemplo: problema2AlevinJavierSierraRosa).
• Rellena el formulario para enviar el problema. ( Se solicitan datos del alumnado pero también del representante del menor, que puede ser docente, padre, madre o tutor/a legal).
• Tienes de plazo, si quieres concursar, del 22/10/2025 al 29/10/2025. En el caso que, pasado ese período quieras enviar una resolución, puedes hacerlo, pero ya no entraría en el concurso.

RECUERDA que cuando resuelves un problema tienes que tener en cuenta los datos, anótalos si es relevante la información, realiza las operaciones en orden y explicando las que consideres importantes, y, cómo no, escribe la solución al problema planteado, contestando a la pregunta, generalmente.

Para una información más detallada, echa un vistazo a las bases: Bases del concurso «Retos Olimpiadas»

Si te surgen dudas, contacta con nosotros, te atenderemos gustosamente en Contacta con nosotros.

Soluciones:

Hemos recibido veintitrés resoluciones del problema 2 para la categoría junior, ¡animaros a seguir participando!

A continuación os facilitamos la solución oficial del problema 2:

Triángulo rectángulo

La hipotenusa de un triángulo rectángulo es a y los catetos b y 13 cm, siendo a y b números enteros. Hallar el área y el perímetro del triángulo.

Solución oficial:

a² = b² + 169 de donde a² – b² = (a + b)(a – b) = 169 = 13 ·13. Al ser a y b enteros, puede ocurrir: 

• a + b = 13; a – b = 13 de donde a = 13 y b = 0  que no es posible
• a + b = 169; a – b = 1 de donde 2a = 170; a = 85 y b = 84

El perímetro es: 85 + 84 + 13 = 182 cm y el área: ½ ·13 · 84 = 546 cm²

Otra forma

Si queremos encontrar triángulos rectángulos con sus lados enteros, basta tomar la hipotenusa como m² + n² y los catetos uno m² – n² y otro 2mn, siendo m y n números enteros y distintos que podemos elegir arbitrariamente. 

Como uno de los catetos es 13, m² – n² = 13 pues 2mn no puede ser 13 al ser m y n números enteros. 

Si m² – n² = 13 debe ser (m+n) = 13 y (m-n) =1 de donde m = 7 y n = 6

La hipotenusa es 72 + 62 = 49 + 36 = 85 y el cateto b = 2mn = 84

La resolución elegida como ganadora del problema 2 ha sido la realizada por David Tello Román del IES “Donoso Cortés” (Don Benito) ¡¡ Enhorabuena !!

Merece ser mencionada la solución que ha enviado el alumno Mario Domínguez Nieto del IES «Ciudad Jardín» de Badajoz.

Enunciado:

22-octubre-2025

A continuación puedes ver el enunciado del problema 2 para el concurso «Retos Olimpiadas», en la categoría Junior, 2º ESO.

¡¡ Anímate a participar !! Para ello sigue las instrucciones que encontrarás tras el enunciado.

Enunciado problema 2:  

Triángulo rectángulo

La hipotenusa de un triángulo rectángulo es a y los catetos b y 13 cm, siendo a y b números enteros. Hallar el área y el perímetro del triángulo.

Instrucciones para participar en el concurso:

• Descarga e imprime el documento en pdf: PROBLEMA2_JUNIOR_22_10_2025
• Realiza la resolución del problema escrito a mano en el documento impreso del punto anterior.
• Escanea en orden ascendente a la numeración de páginas los folios que hayas usado en la resolución del problema. Se guardarán en un único archivo en formato pdf (máx.10MB), nombrado problema-numero-categoría-nombre completo del participante (Ejemplo: problema2AlevinJavierSierraRosa).
• Rellena el formulario para enviar el problema. ( Se solicitan datos del alumnado pero también del representante del menor, que puede ser docente, padre, madre o tutor/a legal).
• Tienes de plazo, si quieres concursar, del 22/10/2025 al 29/10/2025. En el caso que, pasado ese período quieras enviar una resolución, puedes hacerlo, pero ya no entraría en el concurso.

RECUERDA que cuando resuelves un problema tienes que tener en cuenta los datos, anótalos si es relevante la información, realiza las operaciones en orden y explicando las que consideres importantes, y, cómo no, escribe la solución al problema planteado, contestando a la pregunta, generalmente.

Para una información más detallada, echa un vistazo a las bases: Bases del concurso «Retos Olimpiadas»

Si te surgen dudas, contacta con nosotros, te atenderemos gustosamente en Contacta con nosotros.