Marzo de 2025

En la actividad anterior (actividad del mes de febrero 2025) señalábamos las dificultades del paso de una situación concreta a una expresión algebraica que la represente. Terminábamos la entrada con un problema que reproducimos de nuevo:

“Escribe una ecuación usando las variables Q y M para representar la siguiente afirmación: En un restaurante, por cuatro personas que piden tarta de queso (Q), hay cinco que la piden de manzana (M)” (Lochead y Mestre, 1988, 127).

Supongo que los habréis propuesto y analizado en vuestras aulas.

En este caso, la típica respuesta es: 4 Q = 5 M, a pesar de que los resolutores puedan comprender y representar la relación numérica entre el número de comensales en cada caso. Es decir, a pesar de que los resolutores puedan asumir la comprensión cualitativa y cuantitativa.

El paso de la comprensión cuantitativa requiere de una representación adecuada ya que la traducción a la expresión algebraica es visualizar la igualdad de la multiplicación en cruz. No es fácil el paso de los números a las letras, que nos dicen.

Os dejo otros problemas similares.
“Fui a la tienda y compré el mismo número de libros que de discos. Los libros me costaron dos euros cada uno y los discos seis euros cada uno. Gasté en total 40 euros.”

• Lochhead, J; Mestre, JP. From words to algebra: mending misconcepcions. En Coxford, AF; Shulte, AP (Eds.): The ideas of Algegra, K-12 (1988 y Yearbook). Reston, VA: NCTM, 1988 pp. 127-135.
• Blanco, L.J. (2025). La resolución de problemas de matemáticas en la formación inicial de profesores de primaria. Servicio de publicaciones de la UEX.

Lorenzo J. Blanco Nieto
@lorenzojblanco
https://maniasmatematicas.blogspot.com

Febrero de 2025

La traducción de una situación concreta o enunciado a una expresión numérica o algebraica no es inmediata. No basta con decirle a los resolutores eso de “lee con atención el problema”. En la actividad 1, de esta serie, señalábamos que “analizar los enunciados es una actividad compleja que va más allá de la simpe recomendación de que lean el texto con atención”.

Obviamente, el análisis de una situación concreta depende del nivel educativo, de la tarea propuesta, del formato de presentación elegido, de la experiencia, . . . pero, en todos los casos, se utilizan heurísticos o recomendaciones que son necesarios explicitar y experimentar de manera específica. Si queremos enseñar/aprender a resolver problemas tenemos que reflexionar sobre cada uno de los pasos a dar.

Dificultad de encontrar la expresión/ecuación adecuada.

Vamos a proponer un problema que implica una traducción de una situación concreta a una expresión algebráica y recomiendo que en vuestras aulas comprobéis la veracidad o no de lo que se dice en esta entrada.

“Escribe una ecuación usando las variables E y P para representar la siguiente afirmación: Hay seis veces tantos estudiantes como profesores en esta universidad. Representa con E el número de estudiantes y con P el de profesores” (Lochead y Mestre, 1988, 127).

La experiencia docente nos ha confirmado que muchos resolutores señalan “6 E = P” como la expresión correcta.
Algunos justifican la expresión “E = 6P”, pero son los menos.

Ello es así, a pesar de que todos los estudiantes entienden que lo usual es que haya más profesores que estudiantes en cualquier universidad.

El origen del error no está en la comprensión lectora del texto. Está en los procesos de traducción entre lenguaje escrito y el lenguaje algebraico que viene condicionado por la estructura del enunciado, capacidad de representación gráfica y simbólica de los resolutores y, en algunos casos, por el vocabulario utilizado.

En general, los resolutores hacen una lectura literal del texto para la traducción a la expresión algebraica. Una actuación mecánica, en cierto sentido, similar a la que se da en primaria al pensar que la palabra “más” significa que es un problema de sumar o la palabra “menos” indicaría uno de restar. Y no tiene porqué ser así.

En el problema mostrado y la resolución incorrecta señalada visualiza una lectura literal del texto.

Hay seis (6) veces tantos estudiantes (E) como profesores (P) en esta universidad.

6 E = P

Que es lo que normalmente ellos han experimentado y desarrollan de manera mecánica porque están acostumbrado a ello.

100 centímetros equivalen a 1 metro

100 cm. = 1 m.

Este ejemplo y los siguientes en próximas entradas nos indican la dificultad de comprensión y uso del significado de las letras (“Profe, con números que con letras no me entero”). En general, utilizan las ‘letras como objeto’ y no como variables que representan el número de estudiantes y de profesores. Pero esto, para otra ocasión.

Para abordar estas cuestiones debemos recordar la diferenciación establecida por (Lochead y Mestre, 1988), al señalar tres niveles de comprensión de los enunciados: comprensión cualitativa, comprensión
cuantitativa y comprensión conceptual.

Os dejo un nuevo problema similar al anterior para que lo propongáis en el aula y que analizaremos en la siguiente entrada:
“Escribe una ecuación usando las variables Q y M para representar la siguiente afirmación: En un restaurante, por cuatro personas que piden tarta de queso (Q), hay cinco que la piden de manzana (M)” (Lochead y Mestre, 1988, 127).

• Lochhead, J; Mestre, JP. From words to algebra: mending misconcepcions. En Coxford, AF; Shulte, AP (Eds.): The ideas of Algegra, K-12 (1988 y Yearbook). Reston, VA: NCTM, 1988 pp. 127-135.
• Blanco, L.J. (2025). La resolución de problemas de matemáticas en la formación inicial de profesores de primaria. Servicio de publicaciones de la UEX.

Lorenzo J. Blanco Nieto
@lorenzojblanco
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Enero de 2025

El aprendizaje de cualquier fórmula debe implicar algo más que repetirla de memoria. Así, debemos saber los conceptos implicados, la relación entre ellos y la lógica interna que la sustenta. Pero, además tenemos que saber decidir cómo y cuándo aplicarla a situaciones concretas y conocer su desarrollo en cada caso.

Es frecuente que en los paseos matemáticos cuando proponemos calcular la superficie de una fuente circular de la que no podemos medir o conocer el radio nos muestren muchas dudas de que puedan resolverlos y terminen desistiendo. De igual manera, cuando pedimos calcular el volumen de una pirámide de la que no podemos medir o conocer su altura, lo resolutores.

Por ello, es bueno proponer enunciados diversos para enfrentarles a diferentes situaciones y que analicen las variables para estos cálculos.

Nos fijamos en la fuente que tiene forma de cilindro y de la que tenemos dificultad para conocer su radio, aunque no su altura.

1. “¿Podrías describir la forma del estanque y sus elementos más importantes? ¿Qué conceptos geométricos identificas?”
2. “Dado que no podemos acceder a medir su radio, explica oralmente que podríamos hacer para calcularlo y para conocer el volumen del vaso de la fuente, sin saltarnos las normas cívicas”.
3. “Según la respuesta anterior haz una estimación del volumen y capacidad del estanque. Anota los metros cúbicos y litros que estimes y compáralos con las estimaciones que hagan tus compañeros”.
4. “Si conocemos que el radio del vaso mide 1,5 metros y la altura es 1,5 metros ¿qué podemos conocer del vaso de la piscina?
5. “El radio de la base mide 75 centímetros, y nos dicen que no caben más de 16.000 litros de agua ¿Qué información debemos conocer para asegurarnos que no caben los 16.000 litros? ¿Qué podemos conocer del vaso de la fuente?”
6. “Si conocemos que una piscina cilíndrica tiene una capacidad de 16.000 litros y tiene 1,7 metros de altura, ¿qué más podemos conocer de la piscina?”
7. “Si conocemos que una piscina cilíndrica tiene una base de 7 metros cuadrados y una capacidad de 16.000 litros, ¿qué más podemos conocer de la piscina?”
8. “Calcular el volumen de un cilindro sabiendo que el diámetro de la base mide 7 cm. y su altura mide 4 cm.”
9. “Calcular el volumen de un cilindro sabiendo que la longitud de la circunferencia de la base mide 21 cm. y su altura mide 6 cm.”

Lorenzo J. Blanco Nieto
@lorenzojblanco
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Noviembre de 2024

A veces las tareas matemáticas tienen que servirnos para repasar conceptos y establecer clasificaciones y relaciones de inclusión entre ellos, más allá de las puras definiciones. Pero esto dependerá de cómo formulemos la pregunta y la tarea y del objetivo que nos planteemos.

Hoy presentamos diseños de azulejos en edificios y lugares públicos que nos sirven de pretexto para tareas en el aula y fuera de ella. Su estructura refleja de manera clara una variedad de figuras geométricas y movimientos en el plano (simetrías, giros y traslaciones) lo que nos sirve para contextualizar las matemáticas en el entorno.

Fijad la atención, por ejemplo, en la primera composición que parece la más simple y pensad cuántos conceptos geométricos podríamos encontrar en la figura.

A este respecto, proponemos las siguientes actividades:

A1: “Describe la primera composición a un compañero o una compañera de tu clase que no la haya visto previamente para que pueda hacerse una idea precisa de la misma. Sabrás que te ha comprendido si es capaz de dibujarla correctamente antes de verla.”

El lenguaje es fundamental para el aprendizaje ya que para hacernos entender tenemos que ser precisos y rigurosos en la comunicación lo que nos obliga a una reflexión constante sobre los términos, conceptos y propiedades que utilizamos en nuestra descripción.

A2: “Identifica, nombra y describe las figuras geométricas que puedas visualizar en la primera composición.”

A3: “Encontrar, en la primera composición, al menos 25 conceptos geométricos del currículo escolar relacionados con las figuras planas. Defínelos y describe sus propiedades.”

A4:“Establece semejanzas y diferencias entre los conceptos encontrados.”

Las relaciones de clasificación y de inclusión entre los conceptos geométricos no son tan fáciles como las suponemos en el discurso del aula. Es necesario insistir en ello frecuentemente y desde diferentes contextos y tareas.

A5: “Encontrar figuras con uno, dos, tres, … ejes de simetría.” 

A6: “Encontrar figuras con solo uno, dos, tres, … ejes de simetría.”

A7: “Analiza y compara los dos enunciados anteriores”

A8: “Si quisiéramos conocer las dimensiones de las diferentes figuras en la primera composición ¿sería suficiente con medir el lado de un cuadrado? Justifica tu respuesta.”

A9: “¿Qué relación existe entre las superficies de los polígonos regulares que puedas haber visualizado?”

Estas simples actividades nos permiten profundizar sobre problemas de cálculo de superficie que nos ayudan a establecer relaciones de composición y descomposición entre polígonos que resultan importantes en la resolución de numerosos problemas.

Una simple mirada al currículo de secundaria nos permite relacionar estas actividades dentro del sentido espacial y de la medida y en relación con las competencias específicas 3, 4. 5, 6 y 8.

Finalmente, y modo de orientación os relaciono algunos de los conceptos que pueden visualizarse en la primera composición.

Polígono, polígono regular, cuadrilátero, cuadrado, triángulo, hexágono, dodecágono, rectángulo, paralelogramo, rombo, triángulo equilátero, triángulo acutángulo, ángulo, ángulo recto, ángulo agudo, ángulo obtuso, lado de un polígono, simetrías, giros, traslaciones. Os falta cinco, al menos.

Lorenzo J. Blanco Nieto
@lorenzojblanco
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Septiembre de 2024

Retomamos actividades sencillas para incorporarnos a la actividad sin sobresaltos. De esta manera, proponemos una tarea de cálculo numérico que puede suponer un reto individual o colectivo si lo presentamos como una tarea en el grupo de clase.

Se trata de ir proponiendo diferentes operaciones en las que siempre y únicamente aparezcan cuatro cuatros. Por ejemplo:

• 4 – 4 + 4 – 4 = (4 x 4) – (4 x 4) = 0
• 4/4 + 4 – 4 = 1
• 4 + 4 – 4/4 = 9

No te fíes de que los ejemplos estén bien. Es mejor revisarlos. En algunas ocasiones los errores dan pistas de otros resultados o procedimientos.

Ser flexibles en las normas y rigurosos en el proceso

Cuando estamos jugando con las matemáticas debemos ser flexible en la aplicación de las normas siempre que ello visualice y favorezca el uso y aprendizaje de las matemáticas. Aunque inicialmente aparecerán las cuatro operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división), a medida que vayamos encontrando más dificultades recurriremos a otras operaciones.

Así, si un resolutor utiliza la raíz cuadrada y el resultado es correcto debemos ser benévolos, aunque el dos esté implícito y hagamos alguna observación para poner de manifiesto esta circunstancia. Igual si utilizan el factorial de cuatro. Ser flexible no es sinónimo de no ser riguroso. Hay que procurar ser siempre positivo para ayudar a la motivación y autoestima de los aprendices. Por ejemplo:

• 2 = (4 x 4) / 4 – √4
• 50 = 4! + 4! + (4 – √4)

No se trata tanto de conseguir el resultado, sino de operar y pasar un rato agradable con los números consolidando el manejo de operaciones aritméticas. Debatir sobre el procedimiento y el resultado siempre es positivo.

Existen muchas expresiones equivalentes para un mismo resultado

Cada número puede tener varias soluciones, variando algún signo, operaciones y el orden de los números en la expresión. Es conveniente la búsqueda del máximo de expresiones para seguir dándole al coco y tener motivos para el pensamiento matemático. Por ejemplo:

• 0 = 4 – 4 + 4 – 4
• 0 = 4 + 4 – 4 – 4
• 0 = (4 – 4) / (4 + 4)

Es evidente que el número y la expresión en cada caso dependerá del nivel de conocimiento y dominio de las operaciones. Debemos motivar al uso de todas las conocidas.

Algunas expresiones:

• 10 = (44 – 4) / 4
• 17 = (4 x 4) – (4 / 4)
• 29 = (4! + 4) + (4 / 4)

Ya sabéis buscar expresiones para construir desde el cero al cincuenta. 

Lorenzo J. Blanco Nieto
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