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Sigue con los problemas….pero de los tuyos. Jugando con las matemáticas. Enseñar / aprender a resolver problemas.

Escrito por Administrator en . Publicado en Jugando con las matemáticas, Llévatelo a tu aula, Portada.

Los azulejos de suelos y paredes reflejan las matemáticas. ¿Qué conceptos geométricos identificamos?

Noviembre de 2024

A veces las tareas matemáticas tienen que servirnos para repasar conceptos y establecer clasificaciones y relaciones de inclusión entre ellos, más allá de las puras definiciones. Pero esto dependerá de cómo formulemos la pregunta y la tarea y del objetivo que nos planteemos.

Hoy presentamos diseños de azulejos en edificios y lugares públicos que nos sirven de pretexto para tareas en el aula y fuera de ella. Su estructura refleja de manera clara una variedad de figuras geométricas y movimientos en el plano (simetrías, giros y traslaciones) lo que nos sirve para contextualizar las matemáticas en el entorno.

Fijad la atención, por ejemplo, en la primera composición que parece la más simple y pensad cuántos conceptos geométricos podríamos encontrar en la figura.

A este respecto, proponemos las siguientes actividades:

A1: “Describe la primera composición a un compañero o una compañera de tu clase que no la haya visto previamente para que pueda hacerse una idea precisa de la misma. Sabrás que te ha comprendido si es capaz de dibujarla correctamente antes de verla.”

El lenguaje es fundamental para el aprendizaje ya que para hacernos entender tenemos que ser precisos y rigurosos en la comunicación lo que nos obliga a una reflexión constante sobre los términos, conceptos y propiedades que utilizamos en nuestra descripción.

A2: “Identifica, nombra y describe las figuras geométricas que puedas visualizar en la primera composición.”

A3: “Encontrar, en la primera composición, al menos 25 conceptos geométricos del currículo escolar relacionados con las figuras planas. Defínelos y describe sus propiedades.”

A4:“Establece semejanzas y diferencias entre los conceptos encontrados.”

Las relaciones de clasificación y de inclusión entre los conceptos geométricos no son tan fáciles como las suponemos en el discurso del aula. Es necesario insistir en ello frecuentemente y desde diferentes contextos y tareas.

A5: “Encontrar figuras con uno, dos, tres, … ejes de simetría.” 

A6: “Encontrar figuras con solo uno, dos, tres, … ejes de simetría.”

A7: “Analiza y compara los dos enunciados anteriores”

A8: “Si quisiéramos conocer las dimensiones de las diferentes figuras en la primera composición ¿sería suficiente con medir el lado de un cuadrado? Justifica tu respuesta.”

A9: “¿Qué relación existe entre las superficies de los polígonos regulares que puedas haber visualizado?”

Estas simples actividades nos permiten profundizar sobre problemas de cálculo de superficie que nos ayudan a establecer relaciones de composición y descomposición entre polígonos que resultan importantes en la resolución de numerosos problemas.

Una simple mirada al currículo de secundaria nos permite relacionar estas actividades dentro del sentido espacial y de la medida y en relación con las competencias específicas 3, 4. 5, 6 y 8.

Finalmente, y modo de orientación os relaciono algunos de los conceptos que pueden visualizarse en la primera composición.

Polígono, polígono regular, cuadrilátero, cuadrado, triángulo, hexágono, dodecágono, rectángulo, paralelogramo, rombo, triángulo equilátero, triángulo acutángulo, ángulo, ángulo recto, ángulo agudo, ángulo obtuso, lado de un polígono, simetrías, giros, traslaciones. Os falta cinco, al menos.

Lorenzo J. Blanco Nieto
@lorenzojblanco
https://maniasmatematicas.blogspot.com

Sigue con los problemas….pero de los tuyos. Jugando con las matemáticas. Enseñar / aprender a resolver problemas.

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Con cuatro cuatros.
Construir la serie de los números naturales utilizando diferentes
operaciones aritméticas. Al menos todos hasta el 50.

Septiembre de 2024


Retomamos actividades sencillas para incorporarnos a la actividad sin sobresaltos. De esta manera, proponemos una tarea de cálculo numérico que puede suponer un reto individual o colectivo si lo presentamos como una tarea en el grupo de clase.

Se trata de ir proponiendo diferentes operaciones en las que siempre y únicamente aparezcan cuatro cuatros. Por ejemplo:

  • 4 – 4 + 4 – 4 = (4 x 4) – (4 x 4) = 0
  • 4/4 + 4 – 4 = 1
  • 4 + 4 – 4/4 = 9

No te fíes de que los ejemplos estén bien. Es mejor revisarlos. En algunas ocasiones los errores dan pistas de otros resultados o procedimientos.

Ser flexibles en las normas y rigurosos en el proceso

Cuando estamos jugando con las matemáticas debemos ser flexible en la aplicación de las normas siempre que ello visualice y favorezca el uso y aprendizaje de las matemáticas. Aunque inicialmente aparecerán las cuatro operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división), a medida que vayamos encontrando más dificultades recurriremos a otras operaciones.

Así, si un resolutor utiliza la raíz cuadrada y el resultado es correcto debemos ser benévolos, aunque el dos esté implícito y hagamos alguna observación para poner de manifiesto esta circunstancia. Igual si utilizan el factorial de cuatro. Ser flexible no es sinónimo de no ser riguroso. Hay que procurar ser siempre positivo para ayudar a la motivación y autoestima de los aprendices. Por ejemplo:

  • 2 = (4 x 4) / 4 – √4
  • 50 = 4! + 4! + (4 – √4)

No se trata tanto de conseguir el resultado, sino de operar y pasar un rato agradable con los números consolidando el manejo de operaciones aritméticas. Debatir sobre el procedimiento y el resultado siempre es positivo.

Existen muchas expresiones equivalentes para un mismo resultado

Cada número puede tener varias soluciones, variando algún signo, operaciones y el orden de los números en la expresión. Es conveniente la búsqueda del máximo de expresiones para seguir dándole al coco y tener motivos para el pensamiento matemático. Por ejemplo:

  • 0 = 4 – 4 + 4 – 4
  • 0 = 4 + 4 – 4 – 4
  • 0 = (4 – 4) / (4 + 4)

Es evidente que el número y la expresión en cada caso dependerá del nivel de conocimiento y dominio de las operaciones. Debemos motivar al uso de todas las conocidas.

Algunas expresiones:

  • 10 = (44 – 4) / 4
  • 17 = (4 x 4) – (4 / 4)
  • 29 = (4! + 4) + (4 / 4)

Ya sabéis buscar expresiones para construir desde el cero al cincuenta. 

Lorenzo J. Blanco Nieto
@lorenzojblanco
https://maniasmatematicas.blogspot.com

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Escrito por Administrator en . Publicado en Jugando con las matemáticas, Llévatelo a tu aula, Portada.

Jugando con los números para llegar a 100 o a cero.

El cálculo numérico no tiene por qué ser tedioso, ofreciéndonos las publicaciones sobre matemáticas recreativas numerosos ejemplos de cómo jugar con ellos. En ocasiones nos sorprendemos de cómo podemos manejarlos para obtener resultados que, a priori, podrían parecernos imposibles o muy difícil. 

Así, hoy proponemos un reto que tiene, ya lo anunciamos, muchas soluciones. Mostraremos algunas para daros ánimo, pero espero que seáis capaces de encontrar muchas más.

El objetivo general de la actividad es mejorar el cálculo numérico, principalmente el cálculo mental. El objetivo específico de la tarea es llegar a 100 utilizando los números del 1 al 9, solos o juntándolos y utilizando diferentes operaciones aritméticas.

Podemos plantear la actividad de manera individual, aunque nos gusta más realizarla como un reto colectivo del gran grupo. En cada una de las cinco actividades propuestas las soluciones son numerosas. Obviamente, debemos estar abiertos a cualquier comentario o variación que pudieran proponer los resolutores. Ello sería un síntoma de su implicación en la actividad.

Actividad 1. Utilizando todos los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, en orden creciente y en combinación con diferentes operaciones aritméticas hacer los cálculos para ver quien obtiene un resultado más próximo a 100.

Actividad 2. Utilizar los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, en orden creciente y en combinación con diferentes operaciones aritméticas para obtener 100 como resultado.

Mostramos dos soluciones para ver que es posible, pero te aconsejamos que antes de aceptarlas como tal lo compruebes. Es posible que nos hayamos equivocado o colocado algún gazapo intencionadamente.

Sol. 2.1:     1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + (8 x 9) = 100

Sol. 2.2:     123 – 45 – 67 + 89 = 100

Obviamente, si el trabajo en el aula los desarrollamos de manera colaborativa algunas soluciones son aprovechadas y sugieren otras diferentes: Así, tras mostrar la primera solución siempre hay algún resolutor que introduce alguna modificación.

Sol. 2.3:     (1 x 2 x 3) + 4 + 5 + 6 + 7 + (8 x 9) = 100

Actividad 3. Utilizar los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, en orden decreciente y en combinación con diferentes operaciones aritméticas para obtener 100 como resultado.

Ante nuevas situaciones siempre es bueno revisar si podemos utilizar los conocimientos o soluciones previas.

Sol 3.1.   {(9 x 8) + 7 + 6 + 5 + (4 x 3) – 2} / 1 = 100

Sol. 3.2.   (9 – 8) x (7 x 6) + 54 + 3 + 2 – 1 = 100 

Actividad 4. Utilizar los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, sin ningún orden predeterminado y en combinación con diferentes operaciones aritméticas para obtener 100 como resultado.

Sol 1.   {(6 + 7 + 8 + 9) x 3} + 5 + 4 + 2 – 1 = 100

Sol. 2. 49 + 1 + 8 + (6 x 7) + 5 – 3 – 2 = 100

Actividad 5. Utilizando los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, sin ningún orden predeterminado y en combinación con diferentes operaciones aritméticas para obtener 0 como resultado.

Sol. 1.   98 – 45 – 6×7 – 13 + 2 = 0

Sol. 2.   (6 x 7) – (4 x 5) – 8 – 9 – 3 – (2 x 1) = 0

Encontrar las soluciones implica numerosos cálculos y múltiples combinaciones que en la mayoría de las ocasiones se harán mentalmente. De eso se trata fundamentalmente en esta actividad.

Lorenzo J. Blanco Nieto
@lorenzojblanco
https://maniasmatematicas.blogspot.com

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Inventando fórmulas

Nos empeñamos demasiadas veces en resolver los problemas de cálculo de superficies o volúmenes empleando una determinada fórmula, aun sabiendo que pueden resolverse de otras maneras diferentes (composición y descomposición de figuras, aproximación por exceso y por defecto, fórmula e Herón, etc.), que pueden resultar más sencillas y útiles. Los estudiantes se quejan de tener que aprenderse las fórmulas de memorias por lo que nos ha parecido interesante retomar este juego con ellas.

Descubrir fórmulas es algo que les llama la atención a los nuevos resolutores y flipan en colores si a la fórmula le ponemos el nombre de quién ha sido capaz de reconocerla. Además, proporciona información que nos será útil en numerosas ocasiones.

  1. Calcular el área de un triángulo rectángulo.

El recuerdo y la obligación implícita que asumen de tener que utilizar la fórmula dada le lleva en ocasiones o no buscar o pensar procedimientos más fáciles y cuando se los mostramos nos podemos llevar la sorpresa de que algunos nos diga: “Yo lo había pensado, pero …”

Lo usual es que los estudiantes de secundaria traten de resolver el problema calculando la hipotenusa (CA) y dividiéndola en dos partes y aplicando el teorema de Pitágoras, cuando hay un procedimiento más inmediato y fácil jugamos con las figuras y las fórmulas.

Así, por ejemplo, recuerdo una ocasión en la que una alumna me dijo: “Profe, puedo calcular el área de un triángulo rectángulo multiplicando los catetos y dividiendo el resultado por dos, Atr = (C1 x C2)/2.”

Un simple giro en el folio que había en su mesa con los triángulos dibujados le hizo observar que el triángulo rectángulo dibujado un cateto era una base y el otro la altura correspondiente. A partir, de esa observación construyó su nueva fórmula.

Aproveché esta situación para generar nuevos problemas:

  1. “Comprueba con diferentes ejemplos que la fórmula propuesta por tu compañera funciona.”

Obviamente, comprobar esta afirmación puede hacerse de diferentes maneras según el nivel educativo. En secundaria podría hacerse siguiendo el procedimiento del cálculo de la hipotenusa y la altura utilizando ecuaciones, y en primaria podremos utilizar un procedimiento mas visual y sencillo a partir de la descomposición de un rectángulo en dos triángulos rectángulos.

La figura nos muestra que para calcular el área del triángulo ABC multiplicaremos el valor de los catetos y lo dividiremos por dos. Y esto vale siempre para los triángulos rectángulos ya que si elegimos un cateto como base el otro cumple con la definición de altura.

En cualquier caso, es bueno recordar la posición relativa de las alturas en los triángulos.

2. Calcular el área de un cuadrado.

Otro alumno me dijo, en otra ocasión, que “el área de un cuadrado se calcula multiplicando la diagonal por ella misma y dividiendo el resultado por dos. Es decir, A = dxd/2.”

Rápidamente, otros alumnos indicaron que se había equivocado porque que eso era la fórmula para calcular el área de los rombos. Yo dejé que discutirán entre ellos, pero la situación me llevó a plantear las siguientes cuestiones:

  1. “Comprueba con diferentes ejemplos que esa fórmula (d2/2) funciona para calcular el área de un cuadrado”.
  2. “¿Sabrías justificar que la fórmula del cálculo de área de un rombo puede aplicarse a los cuadrados en base a las definiciones de ambos cuadriláteros?”
  3. “Dado que las dos diagonales del cuadrado son iguales, ¿sabrías justificar que la fórmula d2/2 puede aplicarse a los cuadrados a partir de la expresión A = l2 para el cálculo de área de cuadrado?”

4. “Busca las relaciones de inclusión de las definiciones de cuadrado, rectángulo, rombo y romboides.

Para profundizar sobre esta cuestión podemos recurrir al libro “Aprender a enseñar Geometría en primaria” que está disponible en la dirección:

https://dehesa.unex.es/bitstream/10662/5243/1/978-84-606-9500-4.pdf

3. El área del circulo y la longitud de la circunferencia.

Un tercer caso muy sencillo se refiere a la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia multiplicando el valor del diámetro por pi (π). En normal que si le proponemos a los estudiantes calcular la longitud de la circunferencia dando el valor del diámetro lo primero que hagan sea calcular el radio y aplicar la fórmula L = 2π r. Es consecuencia de la metodología empleada en el aula.

Sin embargo, el cálculo debería ser inmediato si jugamos con las fórmulas.

  1. “¿Sabrías justificar que la fórmula “l = d x π” es válida para calcular la longitud de la circunferencia?”
  2. “Si conocemos el diámetro de un círculo podríamos utilizar la fórmula πd2/4 para calcular su área?”
  3. “Si dividimos la longitud de la circunferencia por el diámetro que obtendremos?”
  4. “Si dividimos el área del círculo por π, ¿qué obtendremos?”

Lorenzo J. Blanco Nieto
@lorenzojblanco
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Sigue con los problemas….pero de los tuyos. Jugando con las matemáticas. Enseñar / aprender a resolver problemas.

Escrito por Administrator en . Publicado en Jugando con las matemáticas, Llévatelo a tu aula, Portada.

Siempre nos quejamos que los estudiantes no leen con atención los problemas y buscan rápidamente la operación que los resuelva. Por ello, debemos dedicar actividades específicas que les ayuden en este primer paso de la resolución de problemas. Analizar los enunciados es una actividad compleja que va más allá de la recomendación de que lean el texto con atención.

Son numerosas las publicaciones que hay sobre ello, pero en esta primera entrega solo vamos a proponer algunos enunciados que sorprenden, despiertan curiosidad, generan discusiones y les sugieren la importancia de pararse un poquito antes de ponerse a realizar alguna operación.

Sugerimos que cuando planteemos estos, y otros, problemas en el aula todos los resolutores tengan las manos libres de lápices o tables y se dispongan a pensar y comentar la situación que se les proponga.

Enunciados propuestos

«Daniel tiene una cuerda compuesta de dos trozos, uno azul y otro rojo. El trozo azul mide 7 metros. ¿Cuál es la longitud de la cuerda?»

“Para pagar 7 litros de leche Adrián entrega un billete de 50 euros.
¿Cuánto le devolverán?”

“Abel tiene 14 cromos y se gasta 2 euros, ¿Cuántos cromos lee quedarán?”

“En la acera de la derecha de la calle López Prudencio de Badajoz el último portal es el nº10, mientras que el último portal de la acera izquierda está marcado con el nº 25, ¿Cuántos portales hay en la calle?”

«Bruno tiene 2 euros., Lucas 3 euros, y María 1 euro y 50 céntimos. Bruno compra regaliz y se gasta 40 céntimos. ¿Cuánto tiene Lucas más que María?, ¿cuánto le queda a Bruno?”

“Un automóvil va de Badajoz a Madrid cuya distancia es de 400 km. Si
consume 8 litros cada 100 km, ¿cuántos litros gastará en 250 km.?”

«El autobús recogió 3 pasajeros en la salida, 5 en una parada, 7 en
otra, 6 en otra y 8 en la última, ¿cuántas paradas hizo?».

«Hay 200 metros de mi casa a la plaza, 300 de la plaza al colegio.
Calcula la distancia de mi casa a la plaza».

“Si un niño tarda en ir a la escuela 20 minutos, ¿cuántos minutos
tardarán cuatro niños?”

“Arquímedes nació en el año 212 antes de la era común y murió en el
287 antes de la era común. ¿Cuántos años vivió Arquímedes?”

«Tengo 20 caramelos y me los como todos menos 8. ¿Cuántos me
quedan?».

“Un caracol sube una pared de cinco metros de alta, por el día sube
dos metros y por la noche resbala uno, ¿cuántos días tarda en subir la
pared?”

Lorenzo J. Blanco Nieto
@lorenzojblanco
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