Ir al contenido principal

Problema 5: Concurso «Retos olimpiadas » Junior (2º ESO)

Escrito por Administrator en . Publicado en Portada.

Soluciones:

Hemos recibido dos resoluciones del problema 5 para la categoría junior, ¡animaros a seguir participando!

A continuación os facilitamos la solución oficial del problema 5:

Dos ecuaciones de 2º grado

Probar que si p es una solución de la ecuación  19x2 + ax + 97 = 0 , 1/p es solución de

97x2 + ax + 19 = 0 

 ¿Para qué valores del parámetro “a” las dos ecuaciones anteriores  tienen una raíz común?

Solución oficial:

Sea p una solución de la primera: 19p2 + ap + 97 = 0, veamos que 1/p es solución de la segunda:

pues el numerador vale 0. Luego 1/p es solución de la 2ª ecuación.

Si p y q son soluciones de la primera, 1/p y 1/q lo son de la segunda, al tener una raíz común, puede ocurrir:

  • p = 1/p en cuyo caso p2 = 1 y p = 1 ó p = -1
  • p = 1/q en cuyo caso pq = 1 y esto no es posible porque pq = 97/19 pues al ser p y q soluciones de la primera ecuación, su producto es pq = 97/19

Entonces solo puede ser p = 1 ó p = -1

Si p = 1 es solución de la primera: 19 + a + 97 = 0 de donde a = – 116

Si p = – 1 es solución de la primera: 19 – a + 97 = 0 de donde a =  116

Ninguna de las dos resoluciones entregadas han sido correctas.

Enunciado:

3-diciembre-2026

A continuación puedes ver el enunciado del problema 5 para el concurso «Retos Olimpiadas», en la categoría Junior, 2º ESO.

¡¡ Anímate a participar !! Para ello sigue las instrucciones que encontrarás tras el enunciado.

Enunciado problema 5:  

Dos ecuaciones de 2º grado

Probar que si p es una solución de la ecuación 19x2+ax+97=0, 1/p es solución de 97x2+ax+19 =0  ¿Para qué valores del parámetro “a” las  dos ecuaciones anteriores  tienen una raíz común?

Instrucciones para participar en el concurso:

  • Descarga e imprime el documento en pdf: PROBLEMA5_JUNIOR_3_12_2025
  • Realiza la resolución del problema escrito a mano en el documento impreso del punto anterior.
  • Escanea en orden ascendente a la numeración de páginas los folios que hayas usado en la resolución del problema. Se guardarán en un único archivo en formato pdf (máx.10MB), nombrado problema-numero-categoría-nombre completo del participante (Ejemplo: problema2AlevinJavierSierraRosa).
  • Rellena el formulario para enviar el problema. ( Se solicitan datos del alumnado pero también del representante del menor, que puede ser docente, padre, madre o tutor/a legal).
  • Tienes de plazo, si quieres concursar, del 3/12/2025 al 10/12/2025. En el caso que, pasado ese período quieras enviar una resolución, puedes hacerlo, pero ya no entraría en el concurso.

RECUERDA que cuando resuelves un problema tienes que tener en cuenta los datos, anótalos si es relevante la información, realiza las operaciones en orden y explicando las que consideres importantes, y, cómo no, escribe la solución al problema planteado, contestando a la pregunta, generalmente.

Para una información más detallada, echa un vistazo a las bases: Bases del concurso «Retos Olimpiadas»

Si te surgen dudas, contacta con nosotros, te atenderemos gustosamente en Contacta con nosotros.

PRJunior, problema_retos_olimpiadas