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Etiqueta: PRJunior

Problema 1: Concurso «Retos olimpiadas » Juvenil (4º ESO)

Escrito por Administrator en . Publicado en Portada.

Soluciones:

Hemos recibidos 22 resoluciones del problema 1 en la categoría juvenil, gracias por participar.

A continuación os facilitamos la solución oficial del problema 1:

Todo por una simple coma  

N es un número de cuatro cifras: N = abcd. Si colocamos una coma entre la b y la c se obtiene el número ab,cd. Este número es la media aritmética de los números de dos cifras ab y cd. Calcula el número N

Solución oficial:

(ab+cd)/2=ab,cd=ab+ (cd)/100 de donde 50 ab – 49 cd = 0→ (ab)/(cd)=4950

Entonces ab = 49k; cd = 50k y al ser ab y cd números de dos cifras debe ser k = 1.

ab = 49 y cd = 50 es decir N = 4950.

En efecto la media aritmética de 49 y 50 es: (49+50)/2 = 49,50

La resolución elegida como ganadora del problema 1 ha sido la realizada por Lucía R. J. del IES “Donoso Cortés” de Don Benito ¡¡ Enhorabuena !!

Enunciado:

8-octubre-2025

A continuación puedes ver el enunciado del problema 1 para el concurso «Retos Olimpiadas», en la categoría Juvenil, 4º ESO.

¡¡ Anímate a participar !! Para ello sigue las instrucciones que encontrarás tras el enunciado.

Enunciado problema 1:  

Todo por una simple coma  

N es un número de cuatro cifras: N = abcd. Si colocamos una coma entre la b y la c se obtiene el número ab,cd. Este número es la media aritmética de los números de dos cifras ab y cd. Calcula el número N

Instrucciones para participar en el concurso:

  • Descarga e imprime el documento en pdf: PROBLEMA1_JUVENIL_8_10_2025
  • Realiza la resolución del problema escrito a mano en el documento impreso del punto anterior.
  • Escanea en orden ascendente a la numeración de páginas los folios que hayas usado en la resolución del problema. Se guardarán en un único archivo en formato pdf (máx.10MB), nombrado problema-numero-categoría-nombre completo del participante (Ejemplo: problema2AlevinJavierSierraRosa).
  • Rellena el formulario para enviar el problema. ( Se solicitan datos del alumnado pero también del representante del menor, que puede ser docente, padre, madre o tutor/a legal).
  • Tienes de plazo, si quieres concursar, del 8/10/2025 al 15/10/2025. En el caso que, pasado ese período quieras enviar una resolución, puedes hacerlo, pero ya no entraría en el concurso.

RECUERDA que cuando resuelves un problema tienes que tener en cuenta los datos, anótalos si es relevante la información, realiza las operaciones en orden y explicando las que consideres importantes, y, cómo no, escribe la solución al problema planteado, contestando a la pregunta, generalmente.

Para una información más detallada, echa un vistazo a las bases: Bases del concurso «Retos Olimpiadas»

Si te surgen dudas, contacta con nosotros, te atenderemos gustosamente en Contacta con nosotros.

Problema 1: Concurso «Retos olimpiadas » Junior (2º ESO)

Escrito por Administrator en . Publicado en Portada.

Soluciones:

Hemos recibidos 14 resoluciones del problema 1 en la categoría junior, gracias por participar.

A continuación os facilitamos la solución oficial del problema 1:

Cuadrados Mágicos Multiplicativos

Si colocamos 9 números en una cuadrícula 3×3, el cuadrado que forman es mágico multiplicativo cuando el producto de los tres elementos de cualquiera de sus tres filas, sus tres columnas y sus dos diagonales es siempre el mismo.

a) Demuestra que si e es el elemento central y P el producto de cualquier línea, se verifica P = e3 

b) Completa el siguiente cuadrado mágico multiplicativo formado por nueve números enteros positivos y distintos

c) Completa el siguiente cuadrado mágico multiplicativo formado por nueve números racionales y distintos:

Solución oficial:

a)

a·b·c = P; d·e·f = P; g·h·i = P; a·e·i = P; c·e·g = P

Multiplicamos la 2ª por la 4ª y por la 5ª, se obtiene: d·e·f·a·e·i·c·e·g = P3 y reagrupando: 

(d·a·g)·e3·(c·f·i) = P3 pero d·a·g = P y c·f·i = P, entonces P2 . e3 = P3 de donde P = e3

b)  P = 63 = 216

Completamos una diagonal poniendo 6/2 = 3 y 6·2 = 12 y el producto de los elementos de esta diagonal es 63. La otra diagonal la completamos con 6/3 = 2 y 6·3 = 18 y también el producto es 63. Luego es muy fácil completar el cuadrado.

c)  El producto de cualquier línea debe ser 1, ahora es muy fácil completar el cuadrado

Ningún alumno ha resuelto correctamente el apartado a), quizás se deba a que es una demostración con la que los alumnos de este nivel no están familiarizados. Se recomienda que vean la resolución expuesta anteriormente y que consulten con sus profesores sobre el razonamiento expuesto.

No obstante los otros dos apartados los han resuelto correctamente varios alumnos y entre ellos merecen ser mencionados Jara M. C. del IES “Norba Caesarina” de Cáceres y Nicolás P. F. del Colegio Nuestra Sra del Carmen de Villafranca de los Barros.

Enunciado:

8-octubre-2025

A continuación puedes ver el enunciado del problema 1 para el concurso «Retos Olimpiadas», en la categoría Junior, 2º ESO.

¡¡ Anímate a participar !! Para ello sigue las instrucciones que encontrarás tras el enunciado.

Enunciado problema 1:  

Cuadrados Mágicos Multiplicativos

Si colocamos 9 números en una cuadrícula 3×3, el cuadrado que forman es mágico multiplicativo cuando el producto de los tres elementos de cualquiera de sus tres filas, sus tres columnas y sus dos diagonales es siempre el mismo.

a) Demuestra que si e es el elemento central y P el producto de cualquier línea, se verifica P = e3 

b) Completa el siguiente cuadrado mágico multiplicativo formado por nueve números enteros positivos y distintos

c) Completa el siguiente cuadrado mágico multiplicativo formado por nueve números racionales y distintos:

Instrucciones para participar en el concurso:

  • Descarga e imprime el documento en pdf: PROBLEMA1_JUNIOR_8_10_2025
  • Realiza la resolución del problema escrito a mano en el documento impreso del punto anterior.
  • Escanea en orden ascendente a la numeración de páginas los folios que hayas usado en la resolución del problema. Se guardarán en un único archivo en formato pdf (máx.10MB), nombrado problema-numero-categoría-nombre completo del participante (Ejemplo: problema2AlevinJavierSierraRosa).
  • Rellena el formulario para enviar el problema. ( Se solicitan datos del alumnado pero también del representante del menor, que puede ser docente, padre, madre o tutor/a legal).
  • Tienes de plazo, si quieres concursar, del 8/10/2025 al 15/10/2025. En el caso que, pasado ese período quieras enviar una resolución, puedes hacerlo, pero ya no entraría en el concurso.

RECUERDA que cuando resuelves un problema tienes que tener en cuenta los datos, anótalos si es relevante la información, realiza las operaciones en orden y explicando las que consideres importantes, y, cómo no, escribe la solución al problema planteado, contestando a la pregunta, generalmente.

Para una información más detallada, echa un vistazo a las bases: Bases del concurso «Retos Olimpiadas»

Si te surgen dudas, contacta con nosotros, te atenderemos gustosamente en Contacta con nosotros.

Problema 8: Concurso «Retos olimpiadas » Junior (2º ESO)

Escrito por Administrator en . Publicado en Portada.

Soluciones:

Hemos recibidos 12 resoluciones del problema 8 en la categoría junior, gracias por participar.

A continuación os facilitamos la solución del problema 8:

CIRCUNFERENCIA INSCRITA EN TRIÁNGULO

Si en un triángulo rectángulo la circunferencia inscrita divide a la hipotenusa en dos segmentos de longitudes 8 y 6.  Calcula el área del triángulo 

Solución

Conviene destacar que todas las resoluciones entregadas de la categoría Junior trabajan con decimales y por esta razón el resultado del área que se pide lo dan próximo a 48, solo la ganadora ha trabajado con muchos decimales sin aproximar en las primeras cifras y da el resultado exacto que es 48. Es necesario volver a advertir que el trabajo con raíces indicadas (irracionales) es más ventajoso que usar decimales para obtener el resultado exacto.

La resolución elegida como ganadora del problema 8 ha sido la realizada por Sarah R. N. del Colegio Ntra Sra de Guadalupe de Mérida. ¡¡ Enhorabuena !!

19-marzo-2025

A continuación puedes ver el enunciado del problema 8 para el concurso «Retos Olimpiadas», en la categoría Junior (2º ESO).

¡¡ Anímate a participar !! Para ello sigue las instrucciones que encontrarás tras el enunciado.

Enunciado problema 8:    

CIRCUNFERENCIA INSCRITA 

Si en un triángulo rectángulo la circunferencia inscrita divide a la hipotenusa en dos segmentos de longitudes 8 y 6.  Calcula el área del triángulo 

Instrucciones para participar en el concurso:

  • Descarga e imprime el documento en pdf: PROBLEMA8_JUNIOR_19_03_2025
  • Realiza la resolución del problema escrito a mano en el documento impreso del punto anterior.
  • Escanea en orden ascendente a la numeración de páginas los folios que hayas usado en la resolución del problema. Se guardarán en un único archivo en formato pdf (máx.10MB), nombrado problema-numero-categoría-nombre completo del participante (Ejemplo: problema2JuniorJavierSierraRosa).
  • Rellena el formulario para enviar el problema. ( Se solicitan datos del alumnado pero también del representante del menor, que puede ser docente, padre, madre o tutor/a legal).
  • Tienes de plazo, si quieres concursar, del 19/03/2025 al 26/03/2025. En el caso que, pasado ese período quieras enviar una resolución, puedes hacerlo, pero ya no entraría en el concurso.

RECUERDA que cuando resuelves un problema tienes que tener en cuenta los datos, anótalos si es relevante la información, realiza las operaciones en orden y explicando las que consideres importantes, y, cómo no, escribe la solución al problema planteado, contestando a la pregunta, generalmente.

Para una información más detallada, echa un vistazo a las bases: Bases del concurso «Retos Olimpiadas»

Si te surgen dudas, contacta con nosotros, te atenderemos gustosamente en Contacta con nosotros.

Problema 7: Concurso «Retos olimpiadas » Junior (2º ESO)

Escrito por Administrator en . Publicado en Portada.

Soluciones:

Hemos recibidos 11 resoluciones del problema 7 en la categoría junior, gracias por participar.

A continuación os facilitamos la solución del problema 7:

CURIOSA ECUACIÓN 

Calcula los números enteros positivos x e y que verifican la ecuación: xy – yx = 17

Solución

x e y no pueden ser los dos pares ni los dos impares pues la diferencia xy – yx siempre sería par y no puede ser 17.

Si y = 1, yx = 1x = 1, entonces xy – yx = x – 1 = 17 de donde x = 18. Una solución es: x = 18; y = 1

Probando con otras potencias: 21 – 12 = 1; 23 – 32 = -1; 25 – 52 = 7;  27 – 72 = 79 y la diferencia va aumentando 32 – 23 = 1; 34 – 43 = 17. Otra solución es x = 3; y = 4

Solución más sofisticada

Observación: Con este procedimiento de factorizar la diferencia xy – yx no veo cómo se obtiene la solución x = 18, y = 1

Las resoluciones recibidas han todas correctas, se ha elegido aquella que estaba correcta y mejor justificada para resolver el problema 7.

La resolución elegida como ganadora del problema 7 ha sido la realizada por Álvaro A. C. del I.E.S Miguel Durán Azuaga(Badajoz). ¡¡ Enhorabuena !!

Enunciado:

5-marzo-2025

A continuación puedes ver el enunciado del problema 7 para el concurso «Retos Olimpiadas», en la categoría Junior (2º ESO).

¡¡ Anímate a participar !! Para ello sigue las instrucciones que encontrarás tras el enunciado.

Enunciado problema 7:    

CURIOSA ECUACIÓN 

Calcula los números enteros positivos x e y que verifican la ecuación: xy – yx = 17

Instrucciones para participar en el concurso:

  • Descarga e imprime el documento en pdf: PROBLEMA_JUNIOR_12_03_2025
  • Realiza la resolución del problema escrito a mano en el documento impreso del punto anterior.
  • Escanea en orden ascendente a la numeración de páginas los folios que hayas usado en la resolución del problema. Se guardarán en un único archivo en formato pdf (máx.10MB), nombrado problema-numero-categoria-nombre completo del participante (Ejemplo: problema2JuniorJavierSierraRosa).
  • Rellena el formulario para enviar el problema. ( Se solicitan datos del alumnado pero también del representante del menor, que puede ser docente, padre, madre o tutor/a legal).
  • Tienes de plazo, si quieres concursar, del 12/03/2025 al 19/03/2025. En el caso que, pasado ese período quieras enviar una resolución, puedes hacerlo, pero ya no entraría en el concurso.

RECUERDA que cuando resuelves un problema tienes que tener en cuenta los datos, anótalos si es relevante la información, realiza las operaciones en orden y explicando las que consideres importantes, y, cómo no, escribe la solución al problema planteado, contestando a la pregunta, generalmente.

Para una información más detallada, echa un vistazo a las bases: Bases del concurso «Retos Olimpiadas»

Si te surgen dudas, contacta con nosotros, te atenderemos gustosamente en Contacta con nosotros.

Problema 6: Concurso «Retos olimpiadas » Junior (2º ESO)

Escrito por Administrator en . Publicado en Portada.

Soluciones:

Hemos recibidos 19 resoluciones del problema 6 en la categoría junior, gracias por participar.

A continuación os facilitamos la solución del problema 6 :

CUADRADOS MÁGICOS 

Seguramente conoces los cuadrados mágicos. He aquí un ejemplo:

Todas sus filas, columnas y diagonales suman lo mismo, en este caso 12. 

Un cuadrado es mágico cuando todas sus filas, columnas y las dos diagonales suman lo mismo. A esta suma constante la llamaremos SUMA MÁGICA.

Vamos a fijarnos en los cuadrados mágicos 3 x 3 formados por nueve números enteros y distintos

a) Justifica que la suma mágica S siempre es múltiplo de 3 y que el elemento central del cuadrado es la tercera parte de S.

b) Completa el siguiente cuadrado mágico con los números del 1 al 9 sin repetir ninguno y cuya suma mágica sea S = 15

Solución:

a) a + e + i = S; c + e + g = S; b + e + h = S. Sumando:  (a + c  + b) + 3e + (i + g + h) = 3S de donde S + 3e + S = 3S y S = 3e

S es múltiplo de 3 y e = S/3

b) Como S = 15, el elemento central es 5 y se completa la primera columna que en vertical es: 9, 5, 1

Ahora es fácil completar el cuadrado y hay varias soluciones, una de ellas es: 

A partir de esta se pueden obtener siete más. Aplicando:

  • Cuatro simetrías: respecto a la línea central, respecto a la columna central y respecto a cada una de las dos diagonales.
  • Tres giros, de centro el elemento central y amplitud 90º,180º y 270º.

Este problema de los cuadrados mágicos tenía una primera parte que era justificar un resultado y no lo ha hecho nadie, la segunda parte la han completado todos de forma correcta. Por este motivo, esta semana no hay resolución ganadora del problema 6.

Enunciado:

5-marzo-2025

A continuación puedes ver el enunciado del problema 6 para el concurso «Retos Olimpiadas», en la categoría Junior (2º ESO).

¡¡ Anímate a participar !! Para ello sigue las instrucciones que encontrarás tras el enunciado.

Enunciado problema 6:    

CUADRADOS MÁGICOS 

Seguramente conoces los cuadrados mágicos. He aquí un ejemplo:

Todas sus filas, columnas y diagonales suman lo mismo, en este caso 12. 

Un cuadrado es mágico cuando todas sus filas, columnas y las dos diagonales suman lo mismo. A esta suma constante la llamaremos SUMA MÁGICA.

Vamos a fijarnos en los cuadrados mágicos 3 x 3 formados por nueve números enteros y distintos

a) Justifica que la suma mágica S siempre es múltiplo de 3 y que el elemento central del cuadrado es la tercera parte de S.

b) Completa el siguiente cuadrado mágico con los números del 1 al 9 sin repetir ninguno y cuya suma mágica sea S = 15

Instrucciones para participar en el concurso:

  • Descarga e imprime el documento en pdf: PROBLEMA6_JUNIOR_5_03_2025
  • Realiza la resolución del problema escrito a mano en el documento impreso del punto anterior.
  • Escanea en orden ascendente a la numeración de páginas los folios que hayas usado en la resolución del problema. Se guardarán en un único archivo en formato pdf (máx.10MB), nombrado problema-numero-categoria-nombre completo del participante (Ejemplo: problema2JuniorJavierSierraRosa).
  • Rellena el formulario para enviar el problema. ( Se solicitan datos del alumnado pero también del representante del menor, que puede ser docente, padre, madre o tutor/a legal).
  • Tienes de plazo, si quieres concursar, del 5/03/2025 al 12/03/2025. En el caso que, pasado ese período quieras enviar una resolución, puedes hacerlo, pero ya no entraría en el concurso.

RECUERDA que cuando resuelves un problema tienes que tener en cuenta los datos, anótalos si es relevante la información, realiza las operaciones en orden y explicando las que consideres importantes, y, cómo no, escribe la solución al problema planteado, contestando a la pregunta, generalmente.

Para una información más detallada, echa un vistazo a las bases: Bases del concurso «Retos Olimpiadas»

Si te surgen dudas, contacta con nosotros, te atenderemos gustosamente en Contacta con nosotros.