Hemos recibido veintitrés resoluciones del problema 2 para la categoría juvenil, ¡animaros a seguir participando!
A continuación os facilitamos la solución oficial del problema 2:
Ecuaciones menos usuales
La resolución elegida como ganadora del problema 2 ha sido la realizada por David B. M. del I.E.S. Sierra de San Pedro (La Roca de la Sierra) ¡¡ Enhorabuena !!
Enunciado:
22-octubre-2025
A continuación puedes ver el enunciado del problema 2 para el concurso «Retos Olimpiadas», en la categoría Juvenil, 4º ESO.
¡¡ Anímate a participar !! Para ello sigue las instrucciones que encontrarás tras el enunciado.
Realiza la resolución del problema escrito a mano en el documento impreso del punto anterior.
Escanea en orden ascendente a la numeración de páginas los folios que hayas usado en la resolución del problema. Se guardarán en un único archivo en formato pdf (máx.10MB), nombrado problema-numero-categoría-nombre completo del participante (Ejemplo: problema2AlevinJavierSierraRosa).
Rellena el formulario para enviar el problema. ( Se solicitan datos del alumnado pero también del representante del menor, que puede ser docente, padre, madre o tutor/a legal).
Tienes de plazo, si quieres concursar, del 22/10/2025 al 29/10/2025. En el caso que, pasado ese período quieras enviar una resolución, puedes hacerlo, pero ya no entraría en el concurso.
RECUERDA que cuando resuelves un problema tienes que tener en cuenta los datos, anótalos si es relevante la información, realiza las operaciones en orden y explicando las que consideres importantes, y, cómo no, escribe la solución al problema planteado, contestando a la pregunta, generalmente.
Hemos recibido veintitrés resoluciones del problema 2 para la categoría junior, ¡animaros a seguir participando!
A continuación os facilitamos la solución oficial del problema 2:
Triángulo rectángulo
La hipotenusa de un triángulo rectángulo es a y los catetos b y 13 cm, siendo a y b números enteros. Hallar el área y el perímetro del triángulo.
Solución oficial:
a2 = b2 + 169 de donde a2 – b2 = (a + b)(a – b) = 169 = 13 ·13. Al ser a y b enteros, puede ocurrir:
a + b = 13; a – b = 13 de donde a = 13 y b = 0 que no es posible
a + b = 169; a – b = 1 de donde 2a = 170; a = 85 y b = 84
El perímetro es: 85 + 84 + 13 = 182 cm y el área: ½ ·13 · 84 = 546 cm2
Otra forma
Si queremos encontrar triángulos rectángulos con sus lados enteros, basta tomar la hipotenusa como m2 + n2 y los catetos uno m2 – n2 y otro 2mn, siendo m y n números enteros y distintos que podemos elegir arbitrariamente.
Como uno de los catetos es 13, m2 – n2 = 13 pues 2mn no puede ser 13 al ser m y n números enteros.
Si m2 – n2 = 13 debe ser (m+n) = 13 y (m-n) =1 de donde m = 7 y n = 6
La hipotenusa es 72 + 62 = 49 + 36 = 85 y el cateto b = 2mn = 84
La resolución elegida como ganadora del problema 2 ha sido la realizada por David T. R. del IES “Donoso Cortés” (Don Benito) ¡¡ Enhorabuena !!
Merece ser mencionada la solución que ha enviado el alumno Mario D. N. del IES «Ciudad Jardín» de Badajoz.
Enunciado:
22-octubre-2025
A continuación puedes ver el enunciado del problema 2 para el concurso «Retos Olimpiadas», en la categoría Junior, 2º ESO.
¡¡ Anímate a participar !! Para ello sigue las instrucciones que encontrarás tras el enunciado.
Enunciado problema 2:
Triángulo rectángulo
La hipotenusa de un triángulo rectángulo es a y los catetos b y 13 cm, siendo a y b números enteros. Hallar el área y el perímetro del triángulo.
Realiza la resolución del problema escrito a mano en el documento impreso del punto anterior.
Escanea en orden ascendente a la numeración de páginas los folios que hayas usado en la resolución del problema. Se guardarán en un único archivo en formato pdf (máx.10MB), nombrado problema-numero-categoría-nombre completo del participante (Ejemplo: problema2AlevinJavierSierraRosa).
Rellena el formulario para enviar el problema. ( Se solicitan datos del alumnado pero también del representante del menor, que puede ser docente, padre, madre o tutor/a legal).
Tienes de plazo, si quieres concursar, del 22/10/2025 al 29/10/2025. En el caso que, pasado ese período quieras enviar una resolución, puedes hacerlo, pero ya no entraría en el concurso.
RECUERDA que cuando resuelves un problema tienes que tener en cuenta los datos, anótalos si es relevante la información, realiza las operaciones en orden y explicando las que consideres importantes, y, cómo no, escribe la solución al problema planteado, contestando a la pregunta, generalmente.
Hemos recibido tres resoluciones del problema 2 para la categoría alevín, ¡animaros a seguir participando!
A continuación os facilitamos la solución oficial del problema 2:
Sobre el DNI y el NIF
El Documento Nacional de Identidad (DNI) consta de un número de 8 cifras seguido de una letra (el NIF o Número de Identificación Fiscal), que permite detectar si el número está correctamente escrito.
Para saber la letra, se divide el número del DNI entre 23 y como hay 23 restos posibles, se hace corresponder cada resto con una letra escrita en mayúscula del alfabeto, (todas excepto I, Ñ, O, U) según la siguiente tabla:
Resto
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Letra
T
R
W
A
G
M
Y
F
P
D
X
Resto
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Letra
B
N
J
Z
S
Q
V
H
L
C
K
E
a) ¿Cuál es el primer número anterior al de Lucía que tiene asignada la letra Z?
b) Los DNI de dos amigos Antonio y Lucía son: 06 940 760 y 23 768 976 ¿cuáles son las letras correspondientes a esos carnés?
c) ¿Cuál es el primer número anterior al de Antonio con su misma letra?
d) ¿Cuál es el primer número posterior al de Lucía con su misma letra?
e) ¿Cuál es el primer número posterior al de Antonio que tiene asignada la letra Z?
Solución oficial:
a) El de Antonio tiene asignada la letra G y el de Lucía la V porque al dividir sus DNI entre 23 se obtienen restos 4 y 17 respectivamente.
b) Si al dividir dos números entre 23 dan el mismo resto, tendrán la misma letra. Si restamos al DNI de Antonio 23, el número resultante es el anterior con el mismo resto, es decir: 06 940 760 – 23 = 06 940 737
c) De forma similar para que sea posterior al de Lucía con la misma letra debe ser: 23 768 976 + 23 = 23 768 999
d) Para que tenga asignada la letra Z, el resto de dividir entre 23 debe ser 14. Como el resto del de Antonio es 4, para que sea 14 debe ocurrir: 06 940 760 + 10 = 06 940 770
e) Como el resto del de Lucía es 17 y queremos que sea 14 para que la letra sea la Z, debe ser: 23 768 976 – 3 = 23 768 973
La resolución elegida como ganadora del problema 2 ha sido la realizada por Darío M. D. del CEIP Sebastián Martín (Montehermoso) ¡¡ Enhorabuena !!
Enunciado:
22-octubre-2025
A continuación puedes ver el enunciado del problema 2 para el concurso «Retos Olimpiadas», en la categoría Alevín, 6º EP.
¡¡ Anímate a participar !! Para ello sigue las instrucciones que encontrarás tras el enunciado.
Enunciado problema 2:
Sobre el DNI y el NIF
El Documento Nacional de Identidad (DNI) consta de un número de 8 cifras seguido de una letra (el NIF o Número de Identificación Fiscal), que permite detectar si el número está correctamente escrito.
Para saber la letra, se divide el número del DNI entre 23 y como hay 23 restos posibles, se hace corresponder cada resto con una letra escrita en mayúscula del alfabeto, (todas excepto I, Ñ, O, U) según la siguiente tabla:
Resto
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Letra
T
R
W
A
G
M
Y
F
P
D
X
Resto
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Letra
B
N
J
Z
S
Q
V
H
L
C
K
E
a) ¿Cuál es el primer número anterior al de Lucía que tiene asignada la letra Z?
b) Los DNI de dos amigos Antonio y Lucía son: 06 940 760 y 23 768 976 ¿cuáles son las letras correspondientes a esos carnés?
c) ¿Cuál es el primer número anterior al de Antonio con su misma letra?
d) ¿Cuál es el primer número posterior al de Lucía con su misma letra?
e) ¿Cuál es el primer número posterior al de Antonio que tiene asignada la letra Z?
Realiza la resolución del problema escrito a mano en el documento impreso del punto anterior.
Escanea en orden ascendente a la numeración de páginas los folios que hayas usado en la resolución del problema. Se guardarán en un único archivo en formato pdf (máx.10MB), nombrado problema-numero-categoría-nombre completo del participante (Ejemplo: problema2AlevinJavierSierraRosa).
Rellena el formulario para enviar el problema. ( Se solicitan datos del alumnado pero también del representante del menor, que puede ser docente, padre, madre o tutor/a legal).
Tienes de plazo, si quieres concursar, del 22/10/2025 al 29/10/2025. En el caso que, pasado ese período quieras enviar una resolución, puedes hacerlo, pero ya no entraría en el concurso.
RECUERDA que cuando resuelves un problema tienes que tener en cuenta los datos, anótalos si es relevante la información, realiza las operaciones en orden y explicando las que consideres importantes, y, cómo no, escribe la solución al problema planteado, contestando a la pregunta, generalmente.
Hemos recibidos 22 resoluciones del problema 1 en la categoría juvenil, gracias por participar.
A continuación os facilitamos la solución oficial del problema 1:
Todo por una simple coma
N es un número de cuatro cifras: N = abcd. Si colocamos una coma entre la b y la c se obtiene el número ab,cd. Este número es la media aritmética de los números de dos cifras ab y cd. Calcula el número N
Solución oficial:
(ab+cd)/2=ab,cd=ab+ (cd)/100 de donde 50 ab – 49 cd = 0→ (ab)/(cd)=4950
Entonces ab = 49k; cd = 50k y al ser ab y cd números de dos cifras debe ser k = 1.
ab = 49 y cd = 50 es decir N = 4950.
En efecto la media aritmética de 49 y 50 es: (49+50)/2 = 49,50
La resolución elegida como ganadora del problema 1 ha sido la realizada por Lucía R. J. del IES “Donoso Cortés” de Don Benito ¡¡ Enhorabuena !!
Enunciado:
8-octubre-2025
A continuación puedes ver el enunciado del problema 1 para el concurso «Retos Olimpiadas», en la categoría Juvenil, 4º ESO.
¡¡ Anímate a participar !! Para ello sigue las instrucciones que encontrarás tras el enunciado.
Enunciado problema 1:
Todo por una simple coma
N es un número de cuatro cifras: N = abcd. Si colocamos una coma entre la b y la c se obtiene el número ab,cd. Este número es la media aritmética de los números de dos cifras ab y cd. Calcula el número N
Realiza la resolución del problema escrito a mano en el documento impreso del punto anterior.
Escanea en orden ascendente a la numeración de páginas los folios que hayas usado en la resolución del problema. Se guardarán en un único archivo en formato pdf (máx.10MB), nombrado problema-numero-categoría-nombre completo del participante (Ejemplo: problema2AlevinJavierSierraRosa).
Rellena el formulario para enviar el problema. ( Se solicitan datos del alumnado pero también del representante del menor, que puede ser docente, padre, madre o tutor/a legal).
Tienes de plazo, si quieres concursar, del 8/10/2025 al 15/10/2025. En el caso que, pasado ese período quieras enviar una resolución, puedes hacerlo, pero ya no entraría en el concurso.
RECUERDA que cuando resuelves un problema tienes que tener en cuenta los datos, anótalos si es relevante la información, realiza las operaciones en orden y explicando las que consideres importantes, y, cómo no, escribe la solución al problema planteado, contestando a la pregunta, generalmente.
Hemos recibidos 14 resoluciones del problema 1 en la categoría junior, gracias por participar.
A continuación os facilitamos la solución oficial del problema 1:
Cuadrados Mágicos Multiplicativos
Si colocamos 9 números en una cuadrícula 3×3, el cuadrado que forman es mágico multiplicativo cuando el producto de los tres elementos de cualquiera de sus tres filas, sus tres columnas y sus dos diagonales es siempre el mismo.
a) Demuestra que si e es el elemento central y P el producto de cualquier línea, se verifica P = e3
b) Completa el siguiente cuadrado mágico multiplicativo formado por nueve números enteros positivos y distintos
c) Completa el siguiente cuadrado mágico multiplicativo formado por nueve números racionales y distintos:
Multiplicamos la 2ª por la 4ª y por la 5ª, se obtiene: d·e·f·a·e·i·c·e·g = P3 y reagrupando:
(d·a·g)·e3·(c·f·i) = P3 pero d·a·g = P y c·f·i = P, entonces P2 . e3 = P3 de donde P = e3
b) P = 63 = 216
Completamos una diagonal poniendo 6/2 = 3 y 6·2 = 12 y el producto de los elementos de esta diagonal es 63. La otra diagonal la completamos con 6/3 = 2 y 6·3 = 18 y también el producto es 63. Luego es muy fácil completar el cuadrado.
c) El producto de cualquier línea debe ser 1, ahora es muy fácil completar el cuadrado
Ningún alumno ha resuelto correctamente el apartado a), quizás se deba a que es una demostración con la que los alumnos de este nivel no están familiarizados. Se recomienda que vean la resolución expuesta anteriormente y que consulten con sus profesores sobre el razonamiento expuesto.
No obstante los otros dos apartados los han resuelto correctamente varios alumnos y entre ellos merecen ser mencionados Jara M. C. del IES “Norba Caesarina” de Cáceres y Nicolás P. F. del Colegio Nuestra Sra del Carmen de Villafranca de los Barros.
Enunciado:
8-octubre-2025
A continuación puedes ver el enunciado del problema 1 para el concurso «Retos Olimpiadas», en la categoría Junior, 2º ESO.
¡¡ Anímate a participar !! Para ello sigue las instrucciones que encontrarás tras el enunciado.
Enunciado problema 1:
Cuadrados Mágicos Multiplicativos
Si colocamos 9 números en una cuadrícula 3×3, el cuadrado que forman es mágico multiplicativo cuando el producto de los tres elementos de cualquiera de sus tres filas, sus tres columnas y sus dos diagonales es siempre el mismo.
a) Demuestra que si e es el elemento central y P el producto de cualquier línea, se verifica P = e3
b) Completa el siguiente cuadrado mágico multiplicativo formado por nueve números enteros positivos y distintos
c) Completa el siguiente cuadrado mágico multiplicativo formado por nueve números racionales y distintos:
Realiza la resolución del problema escrito a mano en el documento impreso del punto anterior.
Escanea en orden ascendente a la numeración de páginas los folios que hayas usado en la resolución del problema. Se guardarán en un único archivo en formato pdf (máx.10MB), nombrado problema-numero-categoría-nombre completo del participante (Ejemplo: problema2AlevinJavierSierraRosa).
Rellena el formulario para enviar el problema. ( Se solicitan datos del alumnado pero también del representante del menor, que puede ser docente, padre, madre o tutor/a legal).
Tienes de plazo, si quieres concursar, del 8/10/2025 al 15/10/2025. En el caso que, pasado ese período quieras enviar una resolución, puedes hacerlo, pero ya no entraría en el concurso.
RECUERDA que cuando resuelves un problema tienes que tener en cuenta los datos, anótalos si es relevante la información, realiza las operaciones en orden y explicando las que consideres importantes, y, cómo no, escribe la solución al problema planteado, contestando a la pregunta, generalmente.
