Zoom infinito y fractales (Sierpinski)

Construimos los vértices

Construir la lista de vértices puede parecernos un proceso complicado. Pero recurriendo a la definición del fractal no lo será tanto. Para ello:

• Identificaremos cada triángulo con uno de sus vértices (así habrá que almacenar menos datos).
• A partir de cada triángulo, definimos tres nuevos triángulos, cuyos lados miden la mitad del anterior y los vértices están situados en: Un vértice del triángulo inicial. Punto medio de cada uno de los lados que parten de ese vértice.

Podemos hacer que sea cualquier tipo de triángulo y que esté en cualquier posición (no es necesario que tenga una base paralela al eje de abscisas ni que sea equilátero). Guardaremos sus tres puntos en variables denominadas TrianguloA, TrianguloB y TrianguloC. Para poder dibujar y definir los nuevos triángulos, necesitaremos utilizar los lados y, más concretamente, los vectores correspondientes. Por eso los definimos como

vTriangulo1 = Vector(TrianguloA, TrianguloB)
vTriangulo2 = Vector(TrianguloA, TrianguloC)

(*) Utilizamos vectores en lugar únicamente longitudes, porque así nos indican la dirección en que tenemos que desplazarnos para calcular los demás vértices de cada triángulo. Definimos los elementos necesarios:

• Partimos de un primer triángulo, que iremos dividiendo. Como solo utilizaremos un vértice de los triángulos, el elemento inicial será una lista con un único punto TrianguloA.
  Definimos la lista vertices0 = {TrianguloA}.
• A partir de aquí, utilizaremos un proceso de inducción, que como sabemos, consiste en calcular el nuevo paso aplicando siempre las mismas normas al resultado del paso anterior. En este caso, calcular los nuevos triángulos tal y como se ha descrito antes.
• Lo más cómodo es utilizar el comando Zip, que nos permite iterar sobre todos los elementos de una lista, ejecutando cierta acción sobre ellos (en este caso, obtener los nuevos vértices), y luego juntar todas estas pequeñas listas en una sola, utilizando el comando Encadena.

• Así, obtendríamos las listas

  vertices1 = {TrianguloA, TrianguloA + 1 / 2 vTriangulo1, TrianguloA + 1 / 2 vTriangulo2}
vertices2 = Encadena(Zip({V, V + 1 / 4 vTriangulo1, V + 1 / 4 vTriangulo2}, V, vertices1))
vertices3 = Encadena(Zip({V, V + 1 / 8 vTriangulo1, V + 1 / 8 vTriangulo2}, V, vertices2))
vertices4 = Encadena(Zip({V, V + 1 / 16 vTriangulo1, V + 1 / 16 vTriangulo2}, V, vertices3))
...

  Podríamos continuar así, hasta tener tantas iteraciones como queramos, hasta tener la lista final verticesIteraciones, que es la que utilizaremos para crear el efecto zoom infinito.

Optimizando recursos (avanzado)

Si vamos a crear muchas iteraciones, especialmente si después queremos visualizar la construcción en la web, debemos tener en cuenta que estamos pidiendo a GeoGebra que haga cálculos con listas muy grandes, lo cual puede ocasionar que exija muchos recursos al ordenador, y la animación resulte poco fluida.

Para paliar esto, podemos recurrir a un pequeño truco, que consiste en conservar solamente la última lista, sobre la cual hay que operar para calcular la siguiente iteración. Además, guardaremos la lista como puntos libres de forma que, al no depender de ninguna condición, su cálculo y almacenamiento consume menos recursos del ordenador.

Para calcular la nueva iteración, bastará con calcular las nuevas longitudes de los lados y actualizar la lista con los nuevos vértices.

Longitudes de los lados

Bastará con dividir a la mitad las longitudes anteriores, lo cual se traduce en dividir los vectores iniciales por las correspondientes potencias de 2. Lo más cómodo es tener almacenados los resultados en forma de vector, que estarán definidos como

vIteracion1 = 1 / 2^numIt vTriangulo1 vIteracion2 = 1/2^numIt vTriangulo2

Lista de vértices

Podemos hacer la actualización mediante un botón, que al pulsarlo, genere los elementos necesarios. Así, bastaría con que el botón ejecutase únicamente dos instrucciones:

Valor(numIt,numIt+1) Valor(verticesIteraciones , Encadena(Zip({V, V + vIteracion1, V + vIteracion2}, V, verticesIteraciones)))

Pulsando repetidamente este botón, obtendremos las iteraciones deseadas. Conviene no usar un número elevado, para no sobrecargar la capacidad de procesamiento de listas de GeoGebra.