Soluciones:

Hemos recibido nueve resoluciones del problema 6 para la categoría juvenil, ¡animaros a seguir participando!

A continuación os facilitamos la solución oficial del problema 6:

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Triángulo Cartesiano

Calcular m y n sabiendo que son números enteros con 0 < m < n y que el área del triángulo OPQ es 8 u²

Solución

Podemos inscribir el triángulo en un cuadrado de lado n 

El área de OPQ será el cuadrado menos tres triángulos rectángulos cuyas áreas son: 

El de la izquierda: ½ m · n; el de la derecha: ½ (n-m) ·(n–m); el de abajo: ½ n · m

Área de OPQ = n² – ½ n·m – ½ (n – m)² – ½ n·m = ½ (n² – m²) = 8 de donde:

(n + m)(n – m) = 16 y puede ocurrir:

• n + m = 16; n – m = 1 no hay solución por no ser m y n enteros
• n + m = 8; n – m = 2  de donde n = 5; m = 3
• n + m = 4; n – m = 4 de donde n = 4; m = 0
• n + m = 1; n – m = 16 no hay solución por no ser m y n enteros

Observación: Conocidas las coordenadas de los tres vértices de un triángulo: (x₁,y₁); (x₂,y₂) y (x₃,y₃) el área del triángulo es el valor absoluto del determinante:

En este caso:

y su valor absoluto es 1/2 (n² – m²)

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La resolución elegida como ganadora del problema 6 ha sido la realizada por David B. M. del IESO “Sierra de S. Pedro” La Roca de la Sierra (Badajoz) ¡¡ Enhorabuena !!. Todos los alumnos participantes han enviado una solución correcta pero la más razonada, sin utilizar fórmula para el área del triángulo conociendo las coordenadas de sus tres vértices, es la que hemos considerado ganadora.

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Enunciado:

14-enero-2026

A continuación puedes ver el enunciado del problema 6 para el concurso «Retos Olimpiadas», en la categoría Juvenil, 4º ESO.

¡¡ Anímate a participar !! Para ello sigue las instrucciones que encontrarás tras el enunciado.

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Enunciado problema 6:   

Calcular m y n sabiendo que son números enteros con 0 < m < n y que el área del triángulo OPQ es 8 u²

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Instrucciones para participar en el concurso:

• Descarga e imprime el documento en pdf: PROBLEMA6_JUVENIL_14_1_2026
• Realiza la resolución del problema escrito a mano en el documento impreso del punto anterior.
• Escanea en orden ascendente a la numeración de páginas los folios que hayas usado en la resolución del problema. Se guardarán en un único archivo en formato pdf (máx.10MB), nombrado problema-numero-categoría-nombre completo del participante (Ejemplo: problema2AlevinJavierSierraRosa).
• Rellena el formulario para enviar el problema. ( Se solicitan datos del alumnado pero también del representante del menor, que puede ser docente, padre, madre o tutor/a legal).
• Tienes de plazo, si quieres concursar, del 14/1/2026 al 21/1/2026. En el caso que, pasado ese período quieras enviar una resolución, puedes hacerlo, pero ya no entraría en el concurso.

RECUERDA que cuando resuelves un problema tienes que tener en cuenta los datos, anótalos si es relevante la información, realiza las operaciones en orden y explicando las que consideres importantes, y, cómo no, escribe la solución al problema planteado, contestando a la pregunta, generalmente.

Para una información más detallada, echa un vistazo a las bases: Bases del concurso «Retos Olimpiadas»

Si te surgen dudas, contacta con nosotros, te atenderemos gustosamente en Contacta con nosotros.

Soluciones:

Hemos recibido una resolución del problema 6 para la categoría junior, ¡animaros a seguir participando!

A continuación os facilitamos la solución oficial del problema 6:

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Solo en triángulos equiláteros

a) Las distancias de un punto P a cada lado de un triángulo equilátero son 3 cm, 4 cm y 5 cm. Halla el área del triángulo

b) Demuestra que si P es un punto cualquiera interior a un triángulo equilátero de lado l, la suma de las distancias de P a cada uno de los tres lados es igual a la altura del triángulo (Teorema de Viviani)

Solución oficial:

Voy a contestar primero al apartado b) pues el a) es muy sencillo utilizando esa propiedad

Uniendo P con cada vértice del triángulo equilátero, se forman tres triángulos de base l y alturas a, b y c respectivamente. Si la altura del triángulo inicial es h, se verifica:

l.h /2 = a.l/2 + b.l /2 + c.l/ 2 y simplificando, resulta h = a + b + c

Ahora el apartado a) es muy sencillo pues la altura del triángulo equilátero es: 

h = 3 + 4 + 5 = 12 cm.

Conocida la altura es muy fácil calcular el lado pues: 

Observación

Es muy útil conocer los siguientes resultados válidos para cualquier triángulo equilátero de lado l y altura h. Siendo R y r los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita al triángulo

En los triángulos equiláteros coinciden los cuatro centros notables:

De manera que el lado l, la altura h, el área S, el radio del círculo circunscrito R y el del inscrito r están relacionados. Conociendo uno de ellos es muy fácil calcular los demás.

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La resolución elegida como ganadora del problema 6 ha sido la única recibida por Héctor T. C. del IESO “Sierra de la Mesta” Santa Amalia (Badajoz) ¡¡ Enhorabuena !!

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Enunciado:

14-enero-2026

A continuación puedes ver el enunciado del problema 6 para el concurso «Retos Olimpiadas», en la categoría Junior, 2º ESO.

¡¡ Anímate a participar !! Para ello sigue las instrucciones que encontrarás tras el enunciado.

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Enunciado problema 6:  

Solo en triángulos equiláteros

a) Las distancias de un punto P a cada lado de un triángulo equilátero son 3cm, 4 cm y 5 cm. Halla el área del triángulo

b) Demuestra que si P es un punto cualquiera interior a un triángulo equilátero de lado l, la suma de las distancias de P a cada uno de los tres lados es igual a la altura del triángulo (Teorema de Viviani)

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Instrucciones para participar en el concurso:

• Descarga e imprime el documento en pdf: PROBLEMA6_JUNIOR_14_1_2026
• Realiza la resolución del problema escrito a mano en el documento impreso del punto anterior.
• Escanea en orden ascendente a la numeración de páginas los folios que hayas usado en la resolución del problema. Se guardarán en un único archivo en formato pdf (máx.10MB), nombrado problema-numero-categoría-nombre completo del participante (Ejemplo: problema2AlevinJavierSierraRosa).
• Rellena el formulario para enviar el problema. ( Se solicitan datos del alumnado pero también del representante del menor, que puede ser docente, padre, madre o tutor/a legal).
• Tienes deplazo, si quieres concursar, del 14/1/2026 al 21/1/2026. En el caso que, pasado ese período quieras enviar una resolución, puedes hacerlo, pero ya no entraría en el concurso.

RECUERDA que cuando resuelves un problema tienes que tener en cuenta los datos, anótalos si es relevante la información, realiza las operaciones en orden y explicando las que consideres importantes, y, cómo no, escribe la solución al problema planteado, contestando a la pregunta, generalmente.

Para una información más detallada, echa un vistazo a las bases: Bases del concurso «Retos Olimpiadas»

Si te surgen dudas, contacta con nosotros, te atenderemos gustosamente en Contacta con nosotros.