Skip to main content

Problema 4: Concurso «Retos olimpiadas » Juvenil (4º ESO)

Escrito por Administrator en . Publicado en Portada.

Soluciones

Hemos recibidos 13 resoluciones del problema 4 en la categoría juvenil, gracias por participar.

A continuación os facilitamos la solución oficial del problema 4:

FUNCIÓN NATURAL

Sea f: N → N una función que verifica: f(n) + f(n – 1) = n2. Sabiendo que f(11) = 50, calcula f(0) y f(16)

Solución

f(1) + f(0) = 1 de donde f(1) = 1 – f(0)

f(2) + f(1) = 4 de donde f(2) = 4 –  f(1) = 3 + f(0)

f(3) + f(2) = 9 de donde f(3) = 9 –  f(2) = 6 – f(0)

f(4) + f(3) = 16 de donde f(4) = 16 –  f(3) = 10 + f(0)

f(5) + f(4) = 25 de donde f(5) = 25 –  f(4) = 15 – f(0)

Observando esta evolución: f(6) = 21 + f(0);  f(7) = 28 – f(0); f(8) = 36 + f(0); f(9) = 45 – f(0); f(10) = 55 + f(0); f(11) = 66 – f(0)

Como f(11) = 50, f(0) = 66 – f(11) = 16

En general f(n) =

  • an-16  Si n es impar
  • an+16  Si n es par

Donde an es la sucesión 1; 3; 6; 10; 15; 21; 28; 36; 45; 55; 66; 78 ….. es decir:

a1 = 1;  a2 = a1 + 2;  a3 = a2 + 3; a4 = a3 + 4…… an = an-1 +  n

Entonces f(16) = a16 + f(0) = 136 + 16 = 152

NOTA:

Al ser a1 = 1;  a2 = a1 + 2; a3 = a2 + 3; a4 = a3 + 4…… an = an-1 +  n

Es una Progresión Aritmética de 2º orden, su término general es:

La expresión de f(n) es:

Observación  Como f(0) = 16, f(1) = – 15; f(3) = 6 – 16 = -10; f(5) = 15 – 16 = -1

Estos números negativos no son NATURALES por lo que la función no es f: N → N, debería ser f: Z → Z

Las resoluciones recibidas han sido variadas, con aciertos en muchas de ellas, se ha elegido aquella que estaba correcta y que mejor ha justificado los pasos que ha seguido para resolver el problema 4.

La resolución elegida como ganadora del problema 4 ha sido la realizada por Emilio Bravo Salgado del Salesianos Ramón Izquierdo Badajoz. ¡¡ Enhorabuena !!

Enunciado:

19/febrero/2025

A continuación puedes ver el enunciado del problema 4 para el concurso «Retos Olimpiadas», en la categoría Juvenil (4º ESO).

¡¡ Anímate a participar !! Para ello sigue las instrucciones que encontrarás tras el enunciado.

Enunciado problema 4:    

FUNCIÓN NATURAL

Sea f: N → N una función que verifica: f(n) + f(n – 1) = n2. Sabiendo que f(11) = 50, calcula f(0) y f(16)

Instrucciones para participar en el concurso:

  • Descarga e imprime el documento en pdf: PROBLEMA4_JUVENIL_19_02_2025
  • Realiza la resolución del problema escrito a mano en el documento impreso del punto anterior.
  • Escanea en orden ascendente a la numeración de páginas los folios que hayas usado en la resolución del problema. Se guardarán en un único archivo en formato pdf (máx.10MB), nombrado problema-numero-categoria-nombre completo del participante (Ejemplo: problema2AlevinJavierSierraRosa).
  • Rellena el formulario para enviar el problema. ( Se solicitan datos del alumnado pero también del representante del menor, que puede ser docente, padre, madre o tutor/a legal).
  • Tienes de plazo, si quieres concursar, del 19/02/2025 al 26/02/2025. En el caso que, pasado ese período quieras enviar una resolución, puedes hacerlo, pero ya no entraría en el concurso.

RECUERDA que cuando resuelves un problema tienes que tener en cuenta los datos, anótalos si es relevante la información, realiza las operaciones en orden y explicando las que consideres importantes, y, cómo no, escribe la solución al problema planteado, contestando a la pregunta, generalmente.

Para una información más detallada, echa un vistazo a las bases: Bases del concurso «Retos Olimpiadas»

Si te surgen dudas, contacta con nosotros, te atenderemos gustosamente en Contacta con nosotros.

PRJuvenil, problema_retos_olimpiadas